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設函數f(x)=x³-kx²+x(k∈R).

(1)當k=1時,求函數f(x)的單調區間.

(2)當k<0時,求函數f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.

（09年東城區示范校質檢一文）（14分）

設函數的定義域為全體R，當x<0時，，且對任意的實數x，y∈R，有成立，數列滿足，且（n∈N^*）

   （Ⅰ）求證：是R上的減函數；

   （Ⅱ）求數列的通項公式；

   （Ⅲ）若不等式對一切n∈N^*均成立，求k的

最大值．

已知．

（１）求的單調區間；

（２）證明：當時，恒成立；

（３）任取兩個不相等的正數，且，若存在使成立，證明：．

【解析】（1）g(x)=lnx+，=        （1’）

當k0時，>0，所以函數g(x)的增區間為（0，+），無減區間；

當k>0時，>0,得x>k；<0，得0<x<k∴增區間（k,+）減區間為（0，k）（3’）

(2)設h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x=e, 當x變化時，h(x),的變化情況如表

所以h(x)0, ∴f(x)2x-e                    （5’）

設G(x)=lnx-(x1) ==0,當且僅當x=1時,=0所以G(x) 為減函數, 所以G(x)  G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,綜上,當x1時, 2x-ef(x)恒成立.

(3) ∵=lnx+1∴lnx0+1==∴lnx0=-1      ∴lnx0 –lnx=-1–lnx===(10’)  設H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函數,并且H(t)在t=1處有意義, 所以H(t) <H(1)=0∵∴=

∴lnx0 –lnx>0, ∴x0 >x

（09年東城區示范校質檢一）（本小題滿分14分）

設函數的定義域為全體R，當x<0時，，且對任意的實數x，y∈R，有成立，數列滿足，且（n∈N^*）

   （Ⅰ）求證：是R上的減函數；

   （Ⅱ）求數列的通項公式；

   （Ⅲ）若不等式對一切n∈N^*均成立，求k的

最大值．

設函數定義域為R，當x<0時，f(x)>1，且對于任意的x∈R，有f(x + y)=f(x)•f(y)成立.數列{a_n}滿足a₁=f(0)，且f()=.問：是否存在正數k，使(1+均成立，若存在，求出k的最大值并證明，否則說明理由.