題目列表(包括答案和解析)
設雙曲線
的兩個焦點分別為
、
，離心率為2．
（1）求雙曲線的漸近線方程；
（2）過點
能否作出直線
，使與雙曲線
交于
、
兩點，且
，若存在，求出直線方程，若不存在，說明理由．
【解析】(1)根據離心率先求出a2的值，然后令雙曲線等于右側的1為0，解此方程可得雙曲線的漸近線方程.
（2）設直線l的方程為
,然后直線方程與雙曲線方程聯立，消去y，得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理表示此條件，得到關于k的方程，解出k的值，然后驗證判別式是否大于零即可.
過拋物線y2＝2px(p＞0)的對稱軸上的定點M(m，0)(m＞0)，作直線AB與拋物線相交于A，B兩點．
(1)試證明：A，B兩點的縱坐標之積為定值；
(2)若點N是定直線l：x＝－m上的任一點，試探索三條直線AN，MN，BN的斜率之間的關系，并給出證明．
探究：本題第一問，涉及直線與拋物線的交點問題，求證的是這兩個交點的縱坐標間的關系，不難想到聯立直線與拋物線方程消去x，從而達到目的；對于第二問，容易想到將這三條直線的斜率，從而得到結論．
已知橢圓
＝1(其中a＞b＞0)與直線x＋y＝1交于P、Q兩點，且OP⊥OQ，其中O為坐標原點．
(1)求
的值；
(2)若橢圓的離心率e滿足
≤e≤
，求橢圓長軸的取值范圍．
探究：本題涉及直線與橢圓的交點，對于此類問題往往聯立它們的方程消去其中的一個未知數，再利用根與系數間的關系，從而得到相應的兩個交點的坐標間的關系，再結合題目中的其它條件將問題解決．
過拋物線
的對稱軸上的定點
，作直線
與拋物線相交于
兩點．
（I）試證明兩點的縱坐標之積為定值；
（II）若點
是定直線
上的任一點，試探索三條直線
的斜率之間的關系，并給出證明.
【解析】本題主要考查拋物線與直線的位置關系以及發現問題和解決問題的能力．
（1）中證明：設
下證之：設直線AB的方程為: x=ty+m與y2=2px聯立得消去x得y2=2pty-2pm=0，由韋達定理得
(2)中：因為三條直線AN,MN,BN的斜率成等差數列，下證之
設點N（-m,n），則直線AN的斜率KAN=
，直線BN的斜率KBN=
KAN+KBN=+
本題主要考查拋物線與直線的位置關系以及發現問題和解決問題的能力．
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