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如圖，在△ABC中，cos∠ABC=

1

3

，AB=6，AD=2DC，點D在AC邊上．
（Ⅰ）若BC=AC，求sin∠ADB；
（Ⅱ）若BD=4

3

，求BC的長．

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一．選擇題：

1．B  2．D  2．B  3．C   4．C　5． A  6．C   7．B  8．A  9．D  10．D

二．填空題：

11．a+b  12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1  14． 15．120º   16．②④

三．解答題：

17．由題設，得，，，雙曲線為，  …… 2分

直線AB的方程為 ，               ………………………  4分

代入到雙曲線方程得：4x²+20ax-29a²=0，           ………………………   6分

又，由得：

12=，                         ………………………  9分

解得a²=1，則b²=3，所以為所求。………………………  12分

18．解：（Ⅰ）由題設可得 f '(x)=3x²+2ax+b，           ………………………  2分

   ∵ f '(x)的圖像過點（0，0），（2，0）

∴                              ………………………  5分

解之得：a=－3，b=0                             ………………………  7分

（Ⅱ）由f '(x)=3x²－6x＞0，得x＞2，或x＜0；      ………………………  9分

∴ 當在（－∞，0）上,在(0,2)上,在上,

故在（-∞0）,上遞增,在(0,2)上遞減,      

因此在x=2處取得極小值,所以x₀=2，            ………………………  12分

由f (2)=－5，得c=－1，

∴f（x）=x³－3x²－1                               ………………………  14分

19．：解法一：

 (Ⅰ) 過P作MN∥B₁C₁，分別交A₁B₁、D₁C₁于M、N，則M、N A₁B₁、D₁C₁的中點，連MB，NC由四邊形BCNM是平行四邊形，             ………………………  2分

∵E、M分別為AB、A₁B₁中點，∴A₁E∥MB

又MB平面PBC，∴A₁E∥平面PBC。               ………………………  4分

(Ⅱ)  過A作AF⊥MB，垂足為F，連PF，

∵BC⊥平面ABB₁A₁，AF平面ABB₁A₁，

∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，

∴∠APF就是直線AP與平面PBC所成的角，  ………… 6分

設AA₁=a，則AB=a，AF=，AP=，sin∠APF=

所以，直線AP與平面PBC所成的角是arcsin。             ………… 9分

（Ⅲ）連OP、OB、OC，則OP⊥BC，由三垂線定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，則△PBC為正三角形。即PB=PC=BC                                 ………… 12分

所以k=。

反之，當k=時，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱錐為正三棱錐，

∴O在平面PBC內的射影為的重心                     ………… 14分

解法二：（建立空間坐標系）

20．解  (Ⅰ)由=³在[a ，b]上為減函數，

   得   可得a = ?1 ， b = 1 ，∴ 所求區間是[?1，1]．  ………… 5分

    (Ⅱ)取₁ = 1 ， ₂ = 10，可得()不是減函數；取₁ =，可得()在(0 ， +∞)不是增函數，所以()不是閉函數．         ………… 10分

(Ⅲ)設函數符合條件②的區間為[a ，b]，則

故a ， b是方程=的兩個實根，命題等價于

有兩個不等實根．            ………… 13分

當k時，解得：，∴ ；

當時，這時無解．

所以 k的取值范圍是．                          ………… 16分

21．解：(Ⅰ)由f(x)=x³+ax²+bx+c關于點(1,1)成中心對稱，所以

        x³+ax²+bx+c+(2－x)³+a(2－x)²+b(2－x)+c=2               ………… 3分

對一切實數x恒成立．得：a=－3，b+c=3，

對由f '(1)=0，得b=3，c=0，

故所求的表達式為：f(x)= x³－3x²+3x．                      ………… 7分

(Ⅱ) a_n+1=f (a_n)= a_n ³－3 a_n ²+3 a_n    (1)

令b_n=a_n－1，0<b_n<1，由代入(1)得：b_n+1=，b_n=，………… 10分

∴ 1＞b_n ＞b_n+1 ＞0

    (a₁－a₂)?(a₃－1)+(a₂－a₃)?(a₄－1)+…+(a_n－a_n+1)?(a_n+2－1)=

＜=b₁-b_n+1＜b₁＜1。                    ………… 14分

 （本題證法較多，其它證明方法得分可參照以上評分標準分步給分）

參考答案

一．選擇題：

1．B  2．D  2．B  3．C   4．C　5． A  6．C   7．B  8．A  9．D  10．D

二．填空題：

11．a+b  12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1  14． 15．120º   16．②④

三．解答題：

17．由題設，得，，，雙曲線為，  …… 2分

直線AB的方程為，                   ………………………  4分

代入到雙曲線方程得：，       ………………………   6分

又，由得：

，                         ………………………  9分

解得，則，所以為所求。………………………  12分

18．解：（Ⅰ）由題設可得 f '(x)=3x²+2ax+b，           ………………………  2分

   ∵ f '(x)的圖像過點（0，0），（2，0）

∴                              ………………………  5分

解之得：a=－3，b=0                             ………………………  7分

（Ⅱ）由f '(x)=3x²－6x＞0，得x＞2，或x＜0；      ………………………  9分

∴ 當在（－∞，0）上,在(0,2)上,在上,

故在（－∞，0）,上遞增,在(0,2)上遞減,      

因此在x=2處取得極小值,所以x₀=2，            ………………………  12分

由f (2)=－5，得c=－1，

∴f（x）=x³－3x²－1                               ………………………  14分

19．：解法一：

 (Ⅰ) 過P作MN∥B₁C₁，分別交A₁B₁、D₁C₁于M、N，則M、N A₁B₁、D₁C₁的中點，連MB，NC由四邊形BCNM是平行四邊形，             ………………………  2分

∵E、M分別為AB、A₁B₁中點，∴A₁E∥MB

又MB平面PBC，∴A₁E∥平面PBC。               ………………………  4分

(Ⅱ)  過A作AF⊥MB，垂足為F，連PF，

∵BC⊥平面ABB₁A₁，AF平面ABB₁A₁，

∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，

∴∠APF就是直線AP與平面PBC所成的角，  ………… 6分

設AA₁=a，則AB=a，AF=，AP=，sin∠APF=

所以，直線AP與平面PBC所成的角是arcsin。             ………… 9分

（Ⅲ）連OP、OB、OC，則OP⊥BC，由三垂線定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，則△PBC為正三角形。即PB=PC=BC                                 ………… 12分

所以k=。

反之，當k=時，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱錐為正三棱錐，

∴O在平面PBC內的射影為的重心                     ………… 14分

解法二：（建立空間坐標系）

20．解  (Ⅰ)由=³在[a ，b]上為減函數，

   得   可得a = ?1 ， b = 1 ，∴ 所求區間是[?1，1]．  ………… 5分

    (Ⅱ)取₁ = 1 ， ₂ = 10，可得()不是減函數；取₁ =，可得()在(0 ， +∞)不是增函數，所以()不是閉函數．         ………… 10分

(Ⅲ)設函數符合條件②的區間為[a ，b]，則

故a ， b是方程=的兩個實根，命題等價于

有兩個不等實根．            ………… 13分

當k時，解得：，∴ ；

當時，這時無解．

所以 k的取值范圍是．                          ………… 16分

21．解：(Ⅰ)由f(x)=x³+ax²+bx+c關于點(1,1)成中心對稱，所以

        x³+ax²+bx+c+(2－x)³+a(2－x)²+b(2－x)+c=2               ………… 3分

對一切實數x恒成立．得：a=－3，b+c=3，

對由f '(1)=0，得b=3，c=0，

故所求的表達式為：f(x)= x³－3x²+3x．                      ………… 7分

(Ⅱ) a_n+1=f (a_n)= a_n ³－3 a_n ²+3 a_n    (1)

令b_n=a_n－1，0<b_n<1，由代入(1)得：b_n+1=，b_n=，………… 10分

∴ 1＞b_n ＞b_n+1 ＞0

    (a₁－a₂)?(a₃－1)+(a₂－a₃)?(a₄－1)+…+(a_n－a_n+1)?(a_n+2－1)=

＜=b₁-b_n+1＜b₁＜1。                    ………… 14分

 （本題證法較多，其它證明方法得分可參照以上評分標準分步給分）