題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐P－ABC中，
，
，點
分別是AC、PC的中點，
底面ABC．
（1）求證：
平面
；
（2）當
時，求直線
與平面
所成的角的大小；
（3）當
取何值時，
在平面內的射影恰好為
的重心？
|
（本小題滿分12分）
如圖甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，，點M、N分別在AB、CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC＝2，MB＝4，現將梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND與平面MNCB垂直（如圖乙）
（1）求證：AB∥平面DNC；
（2）當DN的長為何值時，二面角D－BC－N的大小為
？
（本小題滿分12分）
如圖，在斜邊為AB的Rt△ABC，過A作PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F．
(1)求證：BC⊥平面PAC．
(2)求證：PB⊥平面AEF．
(3)若AP=AB=2，試用tgθ(∠BPC=θ)表示△AEF的面積、當tgθ取何值時，△AEF的面積最大？最大面積是多少？
（本小題滿分12分）
已知直線l：y=x，圓C1的圓心為（3，0），且經過（4，1）點.
（1）求圓C1的方程；
（2）若圓C2與圓C1關于直線l對稱，點A、B分別為圓C1、C2上任意一點，求|AB|的最小值；
（3）已知直線l上一點M在第一象限，兩質點P、Q同時從原點出發，點P以每秒1個單位的速度沿x軸正方向運動，點Q以每秒
個單位沿射線OM方向運動，設運動時間為t秒.問：當t為何值時直線PQ與圓C1相切？
（本小題滿分12分）如圖，定點
的坐標分別為
，一質點
從原點出發，始終沿
軸的正方向運動，已知第1分鐘內，質點運動了1個單位，之后每分鐘內比上一分鐘內多運動了2個單位，記第
分鐘內質點運動了
個單位，此時質點的位置為
．
（Ⅰ）求、
的表達式；
（Ⅱ）當為何值時，
取得最大，最大值為多少？
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．答案：A
解：依題意可知：由
顯然：
但
不能推出
。
故選A ；
2．答案：D
解：依題意可知：設點
，則在點P處的切線的斜率為
，即
，又
故選D ；
3．答案：C
解：依題意可知：由
是奇函數，
故選C ；
4．答案：A
解：依題意可知：由
故選A；
5．答案：C
解：如圖：函數
是周期函數，T=1。
故選C；
6．答案：A
解：依題意可知：由
，
，
又
。
故選A ；
7．答案：B
解：依題意可知：由圖可知：
。
8．答案：A
解：依題意可知：如圖，
，
則在
中，
；
則在
中，
；
則在
中，
；
故選A ；
9．答案：D
解：依題意可知：因
表示與
同方向的單位向量，
表示與
同方向的單位向量，故
，而
，
又（+）
，說明
向量與
向量垂直，根據向量加法的平行四邊形法則可知：向量所在直線 過向量所在線段中點，根據等腰三角形三線合一的性質，可逆推
為等腰三角形。又與夾角為
，故為等邊三角形。
故選D ；
10．答案：A
解：設
，在
上，
，
，
，排除D；在
上，
，
，，排除B與C；故選A。
11．答案：B
解法一：正方體的八個頂點可確定
條直線；
條直線組成
對直線；正方體的八個頂點可確定
個面，其中12個四點面（6個表面，4個面對角面，2個體對角面），8個三點面；每個四點面上有
條直線，6條直線組成
對直線，12個四點面由12×15=180對直線組成；每個三點面上有
條直線，3條直線組成對直線，8個三點面由8×3=24對直線組成；由正方體的八個頂點中的兩個所確定的所有直線中，取出兩條，這兩條直線是異面直線的概率為
；
解法二：正方體的八個頂點可確定
個四面體，每個四面體中有三對異面直線，由正方體的八個頂點中的兩個所確定的所有直線中，取出兩條，這兩條直線是異面直線的概率為
；
12．答案：A
解：①正確；①中依題意可令
，
當
時，
在
上為減函數，
又因
在區間
為減函數，故
；
②錯誤；②中
當
當
③錯誤；③中當
時，
④正確；
圓的對稱軸為直徑所在的直線，故原命題正確。
故答案為：A。
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在橫線上。
13．答案：
解：設P點的坐標為
，則
直線PQ的方程為：
即
，
Q點的坐標為
，R點的坐標為
，
故答案為：；
14．答案：
解：依題意可知：正四棱錐S―ABCD的底面正方形ABCD在過球心O的大圓上，設球半徑為R，AC=2R=
，
；
設球心O到側面SAB的距離為
，連接
，
，過
作
于
，
連接SM，則
，
，
又
4
。
故答案為：；
15．答案：10
解：依題意可知：由
令
，故
的系數為
。
故答案為：10 ；
16．答案：③
解：依題意可知：①錯，因在
上，
為減函數，而在
上，
為增函數。
②錯，因在
上，為增函數，而在
上，為減函數。
③正確。因在
上，為增函數。
④錯，因在
上，為增函數，而在
上，為減函數，故
時，函數有極大值。
⑤錯，因在上，為增函數，故
時，函數沒有極大值。
故答案為：③；
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（17）解：
，設
中有
個元素，顯然有
，其中最大的一個是
，由于是正整數集合，故
且
；
當
時，
，此時不符合題意；
當
時，
或
或，顯然只有符合題意；
當
時，設
其中
，
此時令
，
若
，則
，
不符合題意；
若
，由于是正整數集合，故
，
故時不符合題意；
綜上所述。
（18）解：令
故當
（19）。答：與平面
垂直的直線條數有1條為
；
證法一：依題意由圖可知：連
，
連
，
；
證法二：依題意由圖建立空間直角坐標系：
，
設與
垂直的法向量為
，則有：
，而
，故
。
（20）解：設S為勞動村全體農民的集合，
為
季度勞動村在外打工的農民的集合，則
為季度勞動村沒有在外打工的農民的集合，由題意有
所以
勞動村的農民全年在外打工為
，則
，
但
，
所以
，
即
。
故勞動村至少有
的農民全年在外打工。
（21）解：①作圖進行受力分析，如下圖示；
由向量的平行四邊形法則，力的平衡及解直角三角形等知識，得出：
② ∵
，∴
故
在上為減函數，
∴當逐漸增大時，
也逐漸增大。
③要最小，則為最大，∴當為
時，最小，最小值是
。
④要
，則
，∴當為
時，。
（22）解：（Ⅰ）C的焦點為F（1，0），直線l的斜率為1，所以l的方程為
將
代入方程
，并整理得 
設
則有 
所以
夾角的大小為
（Ⅱ）由題設
得 
， ∵ 
∴
③
，依題意有
又F（1，0），得直線l方程為
時，l在方程y軸上的截距為
可知
在[4，9]上是遞減的，
