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(1)如下圖，在日常生活中，我們有時要用同樣長的兩根繩子掛一個物體，如果繩子的最大拉力為F，物體受到的重力為G，你能否用向量的知識分析繩子受到的拉力M的大小與兩繩之間的夾角之間的關系．

(2)上題中求的是拉力與兩繩夾角間的關系，本題也可以改結論，將所求的結論變成“兩繩之間的夾角為何值時，拉力M最小，最小值是多少”．

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．答案：A

解：依題意可知：由

顯然：但不能推出。

故選A ；

2．答案：D

解：依題意可知：設點，則在點P處的切線的斜率為，即，又

故選D ；

3．答案：C

解：依題意可知：由是奇函數，

故選C ；

4．答案：A

解：依題意可知：由

故選A；

5．答案：C

解：如圖：函數是周期函數，T=1。

故選C；

6．答案：A

解：依題意可知：由，，

又

。

故選A ；

7．答案：B

解：依題意可知：由圖可知：

。

8．答案：A

解：依題意可知：如圖，

，

則在中，；

則在中，；

則在中，；

故選A ；

9．答案：D

解：依題意可知：因表示與同方向的單位向量，

表示與同方向的單位向量，故，而，

又（+），說明向量與向量垂直，根據向量加法的平行四邊形法則可知：向量所在直線 過向量所在線段中點，根據等腰三角形三線合一的性質，可逆推為等腰三角形。又與夾角為，故為等邊三角形。

故選D ；

10．答案：A

解：設，在上，，，，排除D；在上，，，，排除B與C；故選A。

11．答案：B

解法一：正方體的八個頂點可確定條直線；條直線組成對直線；正方體的八個頂點可確定個面，其中12個四點面（6個表面，4個面對角面，2個體對角面），8個三點面；每個四點面上有條直線，6條直線組成對直線，12個四點面由12×15=180對直線組成；每個三點面上有條直線，3條直線組成對直線，8個三點面由8×3=24對直線組成；由正方體的八個頂點中的兩個所確定的所有直線中，取出兩條，這兩條直線是異面直線的概率為；

解法二：正方體的八個頂點可確定個四面體，每個四面體中有三對異面直線，由正方體的八個頂點中的兩個所確定的所有直線中，取出兩條，這兩條直線是異面直線的概率為；

12．答案：A

解：①正確；①中依題意可令，

當時，在上為減函數，

又因在區間為減函數，故；

②錯誤；②中當

當

③錯誤；③中當時，

④正確；

圓的對稱軸為直徑所在的直線，故原命題正確。

故答案為：A。

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在橫線上。

13．答案：

解：設P點的坐標為，則

直線PQ的方程為：即，

Q點的坐標為，R點的坐標為，

故答案為：；

14．答案：

解：依題意可知：正四棱錐S―ABCD的底面正方形ABCD在過球心O的大圓上，設球半徑為R，AC=2R=，

；

設球心O到側面SAB的距離為，連接

，，過作于，

連接SM，則，

，

又4。

故答案為：；

15．答案：10

解：依題意可知：由令，故的系數為。

故答案為：10    ；

16．答案：③

解：依題意可知：①錯，因在上，為減函數，而在上，為增函數。

②錯，因在上，為增函數，而在上，為減函數。

③正確。因在上，為增函數。

④錯，因在上，為增函數，而在上，為減函數，故時，函數有極大值。

⑤錯，因在上，為增函數，故時，函數沒有極大值。

故答案為：③；

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

（17）解：，設中有個元素，顯然有，其中最大的一個是，由于是正整數集合，故且；

當時，，此時不符合題意；

當時，或或，顯然只有符合題意；

當時，設其中，

此時令 ，

若，則   ，

不符合題意；

若，由于是正整數集合，故，

    故時不符合題意；

綜上所述。

（18）解：令

故當

（19）。答：與平面垂直的直線條數有1條為；

證法一：依題意由圖可知：連，

連，

；

證法二：依題意由圖建立空間直角坐標系：

，

設與垂直的法向量為，則有：

，而，故。

（20）解：設S為勞動村全體農民的集合，為季度勞動村在外打工的農民的集合，則為季度勞動村沒有在外打工的農民的集合，由題意有

所以

勞動村的農民全年在外打工為，則

，

但，

所以，

即

。

故勞動村至少有的農民全年在外打工。

（21）解：①作圖進行受力分析，如下圖示；

由向量的平行四邊形法則，力的平衡及解直角三角形等知識，得出：

② ∵，∴

故在上為減函數，

∴當逐漸增大時，也逐漸增大。

③要最小，則為最大，∴當為時，最小，最小值是。

④要，則，∴當為時，。

（22）解：（Ⅰ）C的焦點為F（1，0），直線l的斜率為1，所以l的方程為

將代入方程，并整理得  

設則有  

所以夾角的大小為

（Ⅱ）由題設 得  

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