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請觀察思考如下過程：
2³-1³=3•2²-3•2+1，3³-2³=3•3²-3•3+1，…，n³-（n-1）³=3n²-3n+1，
把這n-1個等式相加得n³-1=3•（2²+3²+…+n²）-3•（2+3+…+n）+（n-1），由此得
n³-1=3•（1²+2²+3²+…+n²）-3•（1+2+3+…+n）+（n-1），即1²+2²+…+n²=

1

3

[(n3-1+

3

2

n(n+1)-(n-1)]．
（1）根據上述等式推導出1²+2²+…+n²的計算公式；
（2）類比上述過程，推導出1³+2³+…+n³的計算公式．

（2013•和平區一模）一個袋子內裝有2個綠球，3個黃球和若干個紅球（所有球除顏色外其他均相同），從中一次性任取2個球，每取得1個綠球得5分，每取得1個黃球得2分，每取得1個紅球得l分，用隨機變量X表示取2個球的總得分，已知得2分的概率為

1

6

．
（I）求袋子內紅球的個數；
（II）求隨機變量并的分布列和數學期望．

在計算“1×2+2×3+…+n（n+1）”時，有如下方法：
先改寫第k項：k（k+1）=

1

3

[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（K+1）]，
由此得：1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2），
2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3），…，
n（n+1）=

1

3

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
相加得：1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）．
類比上述方法，請你計算“1×3+2×4+…+n（n+2）”，其結果寫成關于n的一次因式的積的形式為：．