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在等差數列{a_n}中，a₁=1，公差d≠0，a₂²=a₁•a₄，設數列的前n項和為S_n．
（1）解不等式：，求正整數m，n的值；
（2）若數列{b_n}滿足b₁=4，b_n+1=b_n²-a_n•b_n+1，求證：．

在等差數列{a_n}中，a₁=3，其前n項和為S_n，等比數列{b_n}的各項均為正數，b₁=1，公比為q,且b₂+ S₂=12，.（Ⅰ）求a_n 與b_n；（Ⅱ）設數列{c_n}滿足，求{c_n}的前n項和T_n.

【解析】本試題主要是考查了等比數列的通項公式和求和的運用。第一問中，利用等比數列{b_n}的各項均為正數，b₁=1，公比為q,且b₂+ S₂=12，，可得，解得q=3或q=-4(舍),d=3.得到通項公式故a_n=3+3(n-1)=3n, b_n=3 ^n-1.     第二問中，，由第一問中知道，然后利用裂項求和得到T_n.

解： (Ⅰ) 設：{a_n}的公差為d,

因為解得q=3或q=-4(舍),d=3.

故a_n=3+3(n-1)=3n, b_n=3 ^n-1.                       ………6分

(Ⅱ)因為……………8分

 

已知等差數列{a_n}的公差是d，S_n是該數列的前n項和、
（1）試用d，S_m，S_n表示S_m+n，其中m，n均為正整數；
（2）利用（1）的結論求解：“已知S_m=S_n（m≠n），求S_m+n”；
（3）若各項均為正數的等比數列{b_n}的公比為q，前n項和為S_n，試類比問題（1）的結論，寫出一個相應的結論且給出證明，并利用此結論求解問題：“已知各項均為正數的等比數列{b_n}，其中S₁₀=5，S₂₀=15，求數列{b_n}的前50項和S₅₀．”

已知等差數列滿足：

（1）是否存在常數，使得請對你的結論作出正確的解釋或證明；

（2）當時，求數列的通項公式；

（3）若是數列中的最小項，求首項的取值范圍。