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已知函數f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若對一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數f(x)的圖像上去定點A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

當時單調遞減；當時單調遞增，故當時，取最小值

于是對一切恒成立，當且僅當.　　　　　　　　①

令則

當時，單調遞增；當時，單調遞減.

故當時，取最大值.因此，當且僅當時，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當時，單調遞減；當時，單調遞增.故當，即

從而，又

所以因為函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，所以存在使即成立.

【點評】本題考查利用導函數研究函數單調性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數與方程思想等數學方法.第一問利用導函數法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉化為從而得出求a的取值集合；第二問在假設存在的情況下進行推理，然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題，通過構造函數，研究這個函數的性質進行分析判斷.

 

已知函數，其中.

  （1）若在處取得極值，求曲線在點處的切線方程；

  （2）討論函數在的單調性；

  （3）若函數在上的最小值為2，求的取值范圍.

【解析】第一問，因在處取得極值

所以，，解得，此時，可得求曲線在點

處的切線方程為：

第二問中，易得的分母大于零，

①當時， ，函數在上單調遞增；

②當時，由可得，由解得

第三問，當時由（2）可知，在上處取得最小值，

當時由（2）可知在處取得最小值，不符合題意.

綜上，函數在上的最小值為2時，求的取值范圍是

 

已知函數，

（1）求函數的定義域；

（2）求函數在區間上的最小值；

（3）已知，命題p：關于x的不等式對函數的定義域上的任意恒成立；命題q：指數函數是增函數．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數m的取值范圍．

【解析】第一問中，利用由 即

第二問中，，得：

，

第三問中，由在函數的定義域上 的任意，，當且僅當時等號成立。當命題p為真時，；而命題q為真時：指數函數．因為“p或q”為真，“p且q”為假，所以

當命題p為真，命題q為假時；當命題p為假，命題q為真時分為兩種情況討論即可 。

解：（1）由 即

（2），得：

，

（3）由在函數的定義域上 的任意，，當且僅當時等號成立。當命題p為真時，；而命題q為真時：指數函數．因為“p或q”為真，“p且q”為假，所以

當命題p為真，命題q為假時，

當命題p為假，命題q為真時，，

所以

 

已知函數 R)．

（Ⅰ）若 ，求曲線  在點  處的的切線方程；

（Ⅱ）若  對任意  恒成立，求實數a的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。

第一問中，利用當時，．

因為切點為（）， 則，                 

所以在點（）處的曲線的切線方程為：

第二問中，由題意得，即即可。

Ⅰ）當時，．

，                                  

因為切點為（）， 則，                  

所以在點（）處的曲線的切線方程為：．    ……5分

（Ⅱ）解法一：由題意得，即．      ……9分

（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）

，           

因為，所以恒成立，

故在上單調遞增，                            ……12分

要使恒成立，則，解得．……15分

解法二：                 ……7分

      （1）當時，在上恒成立，

故在上單調遞增，

即．                  ……10分

（2）當時，令，對稱軸，

則在上單調遞增，又    

① 當，即時，在上恒成立，

所以在單調遞增，

即，不合題意，舍去  

②當時，， 不合題意，舍去 14分

綜上所述： 

 

如圖，，，…，，…是曲線上的點，，，…，，…是軸正半軸上的點，且，，…，，… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（為坐標原點）．

（1）寫出、和之間的等量關系，以及、和之間的等量關系；

（2）求證：（）；

（3）設，對所有，恒成立，求實數的取值范圍．

【解析】第一問利用有，得到

第二問證明：①當時，可求得，命題成立；②假設當時，命題成立，即有則當時，由歸納假設及，

得

第三問 

．………………………2分

因為函數在區間上單調遞增，所以當時，最大為，即

解：（1）依題意，有，，………………4分

（2）證明：①當時，可求得，命題成立； ……………2分

②假設當時，命題成立，即有，……………………1分

則當時，由歸納假設及，

得．

即

解得（不合題意，舍去）

即當時，命題成立．  …………………………………………4分

綜上所述，對所有，．    ……………………………1分

（3） 

．………………………2分

因為函數在區間上單調遞增，所以當時，最大為，即

．……………2分

由題意，有． 所以，