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某項實驗研究需要一種高標準的產品，對這種產品要檢測A、B兩項技術指標，各項技術指標達標與否互不影響，若有且僅有一項技術指標達標的概率為，至少一項技術指標達標的概率為，按要求只有兩項技術指標都達標的產品才能用于該實驗（稱為合格品），
（Ⅰ）設A、B兩項技術指標達標的概率分別為p₁、p₂，求一件產品經過檢測為合格品的概率是多少？
（Ⅱ）若進行該項實驗需要這種產品100個，為保證實驗的順利進行，則至少要購進多少件這樣的產品？

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一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。

（1）B       （2）A        （3）B      （4）A     （5）C       （6）D

（7）A       （8）C        （9）B      （10）A    （11）D      （12）B

二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

（13）      （14）      （15）      

（16）

三．解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

（17）（本小題滿分10分）

（Ⅰ）解法一：由正弦定理得.

故      ，

_{又      ，}

_{故      ，}

_{即      ，}

_{故      .}

_{因為    ，}

_{故      ，}

      又      為三角形的內角，

所以    .                    ………………………5分

解法二：由余弦定理得  .

      將上式代入    整理得．

      故      ，  

又      為三角形內角，

所以    ．                    ………………………5分

（Ⅱ）解：因為．

故      ，

由已知  得

又因為  .

得      ，

所以    ，

解得    .    ………………………………………………10分

（18）（本小題滿分12分）

（Ⅰ）證明：

             ∵面，面，

             ∴．

             又∵底面是正方形，

       ∴．

             又∵，

       ∴面，

       又∵面，

       ∴平面平面．    ………………………………………6分

（Ⅱ）解法一：如圖建立空間直角坐標系．

設，則，在中，.

∴、、、、、．

∵為的中點，，

∴．

        設是平面的一個法向量．

則由 可求得.

由（Ⅰ）知是平面的一個法向量，

且，

∴，即.

∴二面角的大小為． ………………………………………12分

  解法二：

         設，則，

在中，.

設，連接，過作于，

連結，由（Ⅰ）知面.

∴在面上的射影為，

∴．

故為二面角的平面角.

在中，，，．

∴，

∴.

∴.

即二面角的大小為． …………………………………12分

（19）（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：設、兩項技術指標達標的概率分別為、_．

由題意得：               …………2分

∴．

即一個零件經過檢測為合格品的概率為.             …………6分

（Ⅱ）設該工人一個月生產的20件新產品中合格品有件，獲得獎金元，則

．        ………………8分

～，,               ………………10分

．

即該工人一個月獲得獎金的數學期望是800元．      ………………12分

（20）（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）設雙曲線方程為，，

由，及勾股定理得，

由雙曲線定義得 ．

則．                ………………………………………5分

（Ⅱ），，故雙曲線的兩漸近線方程為．

因為過， 且與同向，故設的方程為，

則

又的面積，所以．

可得與軸的交點為．

設與交于點，與交于點，

由得；由得．

故，

，，

從而．

故的取值范圍是.  …………………………12分

（21）（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ），

．

又因為函數在上為增函數，

  在上恒成立，等價于

  在上恒成立.

又，

故當且僅當時取等號，而，

  的最小值為．         ………………………………………6分

（Ⅱ）由已知得：函數為奇函數，

  ， ，  ………………………………7分

.

切點為，其中，

則切線的方程為：   ……………………8分

由，

得.

又，

，

，

，

或，由題意知，

從而.

，

，

.                    ………………………………………12分

（22）（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解: 由，得

，.               …………………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）歸納得， ………………………4分

用數學歸納法證明:

①當時，成立.

②假設時，成立，

那么

所以當時，等式也成立.

由①、②得對一切成立.  ……………8分

（Ⅲ）證明: 設，則，

所以在上是增函數．

故．

即．

因為，

故．

=.…………12分