題目列表(包括答案和解析)
如圖，四棱錐
的底面
是正方形，側棱
⊥底面，
，
為
的中點.
（1）證明:
//平面
；
（2）在棱上是否存在點
，使三棱錐
的
體積為
？并說明理由.
如圖，四棱錐
的底面是正方形，
平面
，
是
的中點．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求證：
．
如圖，四棱錐
的底面是正方形，
平面
．
，
，
是
上的點．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
|
的底面
是正方形，側棱
⊥底面，
，
為
的中點. （1）證明:
//平面
；（2）在棱上是否存在點
，
使三棱錐
的體積為
？并說明理由.
|
的底面
是正方形，側棱
⊥底面，
，
為
的中點. （1）證明:
//平面
；上是否存在點
，使三棱錐
的
積為
？并說明理由.
一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。
（1）B （2）A （3）B （4）A （5）C （6）D
（7）A （8）C （9）B （10）A （11）D （12）B
二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。
（13）
（14）
（15）
（16）
三．解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（17）（本小題滿分10分）
（Ⅰ）解法一：由正弦定理得
.
故 
，
又 
，
故 
，
即 
，
故 
.
因為 
，
故 
，
又 
為三角形的內角，
所以 
. ………………………5分
解法二：由余弦定理得 
.
將上式代入
整理得
．
故 ，
又 為三角形內角，
所以 ．
………………………5分
（Ⅱ）解：因為
．
故 
，
由已知 
得
又因為 
.
得 
，
所以 
，
解得 
. ………………………………………………10分
（18）（本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：
∵
面
，
面，
∴
．
又∵底面是正方形，
∴
．
又∵
，
∴
面
，
又∵面
，
∴平面
平面． ………………………………………6分
（Ⅱ）解法一：如圖建立空間直角坐標系
．
設
，則
，在
中，
.
∴
、
、
、
、
、
．
∵
為
的中點，
，
∴
．
設
是平面
的一個法向量．
則由
可求得
.
由（Ⅰ）知
是平面的一個法向量，
且
，
∴
，即
.
∴二面角
的大小為
． ………………………………………12分
解法二：
設，則，
在中，.
設
，連接
，過
作
于
，
連結
，由（Ⅰ）知
面
.
∴在面上的射影為
，
∴
．
故
為二面角
的平面角.
在
中，
，
，
．
∴
，
∴
.
∴
.
即二面角的大小為． …………………………………12分
（19）（本小題滿分12分）
（Ⅰ）解：設
、兩項技術指標達標的概率分別為
、
．
由題意得：
…………2分
∴
．
即一個零件經過檢測為合格品的概率為
. …………6分
（Ⅱ）設該工人一個月生產的20件新產品中合格品有
件，獲得獎金
元，則
． ………………8分
～
，
,
………………10分
．
即該工人一個月獲得獎金的數學期望是800元． ………………12分
（20）（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設雙曲線方程為
，
，
由
，
及勾股定理得
，
由雙曲線定義得 
．
則
．
………………………………………5分
（Ⅱ）
，
，故雙曲線的兩漸近線方程為
．
因為
過
， 且
與
同向，故設的方程為
，
則
又
的面積
，所以
．
可得與
軸的交點為
．
設與
交于點，與
交于點，
由
得
；由
得
．
故
，
，
，
從而
．
故
的取值范圍是
. …………………………12分
（21）（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）
，
．
又因為函數
在
上為增函數，
在上恒成立，等價于
在上恒成立.
又
，
故當且僅當
時取等號，而
，
的最小值為
．
………………………………………6分
（Ⅱ）由已知得：函數
為奇函數，
， 
， ………………………………7分
.
切點為
，其中
，
則切線的方程為：
……………………8分
由
，
得
.
又
，
，
，
，
或
，由題意知，
從而
.
，
，
.
………………………………………12分
（22）（本小題滿分12分）
（Ⅰ）解: 由
，
得
，
. …………………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）歸納得
， ………………………4分
用數學歸納法證明:
①當
時，成立.
②假設
時，
成立，
那么
所以當
時，等式也成立.
由①、②得對一切
成立. ……………8分
（Ⅲ）證明: 設
，則
，
所以
在
上是增函數．
故
．
即
．
因為
，
故
．
=
.…………12分
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