題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）
已知雙曲線C的方程為
，離心率
，頂點到漸近線的距離為
。
（I）求雙曲線C的方程；
(II)如圖，P是雙曲線C上一點，A，B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若
，求
面積的取值范圍。
（本小題滿分13分）
如圖，ABCD的邊長為2的正方形，直線l與平面ABCD平行，g和F式l上的兩個不同點，且EA=ED，FB=FC， 
和
是平面ABCD內的兩點，
和都與平面ABCD垂直，
（Ⅰ）證明：直線垂直且平分線段AD：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面
體ABCDEF的體積。
（本小題共14分）
已知橢圓的中點在原點O，焦點在x軸上，點
是其左頂點，點C在橢圓上且
（I）求橢圓的方程；
（II）若平行于CO的直線
和橢圓交于M，N兩個不同點，求
面積的最大值，并求此時直線的方程.
（本小題滿分12分）
設
、
分別是橢圓
的左、右焦點.
（1）若
是該橢圓上的一個動點，求
的取值范圍;
（2）設過定點
的直線
與橢圓交于不同的兩點M、N，且∠
為銳角（其中
為坐標原點），求直線的斜率
的取值范圍.
(3)設
是它的兩個頂點，直線
與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．求四邊形
面積的最大值．
（本小題滿分12分）
如圖，在三棱錐D－ABC中，已知△BCD是正三角
形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E為BC的中點，
F在棱AC上，且AF＝3FC．
（1）求三棱錐D－ABC的表面積；
（2）求證AC⊥平面DEF；
（3）若M為BD的中點，問AC上是否存在一點N，
使MN∥平面DEF？若存在，說明點N的位置；若不
存在，試說明理由．
一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。
（1）B （2）A （3）B （4）A （5）C （6）D
（7）A （8）C （9）B （10）A （11）D （12）B
二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。
（13）
（14）
（15）
（16）
三．解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（17）（本小題滿分10分）
（Ⅰ）解法一：由正弦定理得
.
故 
，
又 
，
故 
，
即 
，
故 
.
因為 
，
故 
，
又 
為三角形的內角，
所以 
. ………………………5分
解法二：由余弦定理得 
.
將上式代入
整理得
．
故 ，
又 為三角形內角，
所以 ．
………………………5分
（Ⅱ）解：因為
．
故 
，
由已知 
得
又因為 
.
得 
，
所以 
，
解得 
. ………………………………………………10分
（18）（本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：
∵
面
，
面，
∴
．
又∵底面是正方形，
∴
．
又∵
，
∴
面
，
又∵面
，
∴平面
平面． ………………………………………6分
（Ⅱ）解法一：如圖建立空間直角坐標系
．
設
，則
，在
中，
.
∴
、
、
、
、
、
．
∵
為
的中點，
，
∴
．
設
是平面
的一個法向量．
則由
可求得
.
由（Ⅰ）知
是平面的一個法向量，
且
，
∴
，即
.
∴二面角
的大小為
． ………………………………………12分
解法二：
設，則，
在中，.
設
，連接
，過
作
于
，
連結
，由（Ⅰ）知
面
.
∴在面上的射影為
，
∴
．
故
為二面角
的平面角.
在
中，
，
，
．
∴
，
∴
.
∴
.
即二面角的大小為． …………………………………12分
（19）（本小題滿分12分）
（Ⅰ）解：設
、兩項技術指標達標的概率分別為
、
．
由題意得：
…………2分
∴
．
即一個零件經過檢測為合格品的概率為
. …………6分
（Ⅱ）設該工人一個月生產的20件新產品中合格品有
件，獲得獎金
元，則
． ………………8分
～
，
,
………………10分
．
即該工人一個月獲得獎金的數學期望是800元． ………………12分
（20）（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設雙曲線方程為
，
，
由
，
及勾股定理得
，
由雙曲線定義得 
．
則
．
………………………………………5分
（Ⅱ）
，
，故雙曲線的兩漸近線方程為
．
因為
過
， 且
與
同向，故設的方程為
，
則
又
的面積
，所以
．
可得與
軸的交點為
．
設與
交于點，與
交于點，
由
得
；由
得
．
故
，
，
，
從而
．
故
的取值范圍是
. …………………………12分
（21）（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）
，
．
又因為函數
在
上為增函數，
在上恒成立，等價于
在上恒成立.
又
，
故當且僅當
時取等號，而
，
的最小值為
．
………………………………………6分
（Ⅱ）由已知得：函數
為奇函數，
， 
， ………………………………7分
.
切點為
，其中
，
則切線的方程為：
……………………8分
由
，
得
.
又
，
，
，
，
或
，由題意知，
從而
.
，
，
.
………………………………………12分
（22）（本小題滿分12分）
（Ⅰ）解: 由
，
得
，
. …………………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）歸納得
， ………………………4分
用數學歸納法證明:
①當
時，成立.
②假設
時，
成立，
那么
所以當
時，等式也成立.
由①、②得對一切
成立. ……………8分
（Ⅲ）證明: 設
，則
，
所以
在
上是增函數．
故
．
即
．
因為
，
故
．
=
.…………12分
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