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設函數,其圖象在點，處的切線的斜率分別為 
（I）求證：；  
（II）若函數的遞增區間為，求||的取值范圍；
（III）若當時（是與無關的常數），恒有，試求的最小值。

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如圖，曲線C₁：=1（b＞a＞0，y≥0）與拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的交點分別為A，B，曲線C₁與拋物線C₂在點A處的切線分別為l₁和l₂，且斜率分別為k₁和k₂．
（I）k₁•k₂是否與p無關？若是，給出證明；若否，給以說明；
（Ⅱ）若l₂與y軸的交點為D（0，-2），當a²+b²取得最小值9時，求曲線C₁與拋物線C₂的方程．

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如圖，曲線C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（b＞a＞0，y≥0）與拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的交點分別為A，B，曲線C₁與拋物線C₂在點A處的切線分別為l₁和l₂，且斜率分別為k₁和k₂．
（I）k₁•k₂是否與p無關？若是，給出證明；若否，給以說明；
（Ⅱ）若l₂與y軸的交點為D（0，-2），當a²+b²取得最小值9時，求曲線C₁與拋物線C₂的方程．

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一、選擇題（每小題5分，滿分60分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

D

C

D

B

B

A

C

C

A

D

A

D

二、填空題（每小題4分，滿分16分）

13．-6        14．           15．           16．②③

三、解答題（第17、18、19、20、21題各12分，第22題14分，共74分）

17．（I）

   （Ⅱ）

            函數的值域為

18．解：（I）記“甲回答對這道題”、“乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件

、、，則，且有即

（Ⅱ）由（1）

則甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率為：

19．解：法一

（I）設是的中點，連結，

則四邊形為方形，，故，

即

又

平面

   （Ⅱ）由（I）知平面，

又平面，，

取的中點，連結又，

則，取的中點，連結則

為二面角的平面角

連結，在中，，

取的中點，連結，，在中，

二面角的余弦值為

法二：

（I）以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則

又因為

所以，平面

   （Ⅱ）設為平面的一個法向量。

由得

取，則又，

設為平面的一個法向量，由，，

得取取

設與的夾角為，二面角為，顯然為銳角，

，即為所求

20．解：（I）或

        故的單調遞增區間是和

         單調遞減區間是（0，2）

（Ⅱ）

  在和遞增，在（-1，3）遞減。

有三個相異實根

21．解：（I）設的公差為，則：

（Ⅱ）當時，，由，得

      當時，，

   ，即

   是以為首項，為公比的等比數列。

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：

22．解：（I）設過與拋物線的相切的直線的斜率是，

         則該切線的方程為：

         由得

         則都是方程的解，故

（Ⅱ）設

      由于，故切線的方程是：

則

，同理

則直線的方程是，則直線過定點（0，2）

（Ⅲ）要使最小，就是使得到直線的距離最小，而到直線的距離

當且僅當即時取等號

設

由得，則