題目列表(包括答案和解析)
已知平面內正三角形的內切圓與外接圓的半徑之比為1 : 2 ，類比到空間，正四面體的內切球與外接球半徑之比為
（08年岳陽一中二模理） 正四面體的內切球，與各棱都相切的球，外接球的半徑之比為
A、1：
：
B、1：：3 C、1：：2 D、1：2：3
一、
1．D 2．C 3．B 4．D 5．C 6．A 7．D 8．B 9．C 10．C
11．D 12．A
【解析】
5．解：
，則
．
6．解：線性規劃問題可先作出可行域（略），設
，則
，可知在點（1，1）處
取最小值，
．
7．解：
，由條件知曲線在點（0，1）處的切線斜率為
，則
．
8．解：如圖
正四棱錐
中，取
中點
，連接
、
，易知
就是側面與底面所成角，
面
，則
．
9．解：
，展開式中含
的項是
，其系數是
．
10．解：
，其值域是
．
11．解：
，設離心率為
，則
，由
知
．
12．解：如圖
正四面體
中，
是
中心，連
，此四面體內切球與外接球具有共同球心
，必在上，并且
等于內切球半徑，
等于外接球半徑．記
面積為
，則
，從而
．
二、填空題
13．
．
解：
，
與
共線
．
14．120種．
解：按要求分類相加，共有
種，或使用間接法：
種．
15．
．
解：曲線
①，化作標準形式為
，表示橢圓，由于對稱性，取焦點
，過
且傾角是135°的弦所在直線方程為：
，即
②，聯立式①與式②消去
得：
，由弦長公式得：
．
16．充要條件①：底面是正三角形，頂點在底面的射影恰是底面的中心．
充要條件②：底面是正三角形，且三條側棱長相等，
再如：底面是正三角形，且三個側面與底面所成角相等；底面是正三角形，且三條側棱與底面所成角相等；三條側棱長相等，且三個側面與底面所成角相等；三個側面與底面所成角相等，三個側面兩兩所成二面角相等．
三、解答題
17．解：設等差數列
的公差為
、
、
成等比數列，即
，
，得
或
．
時是常數列，
，前
項和
時，
的前項和
或
．
18．解：
，則
，
，
．
由正弦定理得：
，
，則
．
19．解：已知甲擊中9環、10環的概率分別是0．3、0．2，則甲擊中8環及其以下環數的概率是0．5；乙擊中9環、10環的概率分別為0．4、0．3，則乙擊中8環及其以下環數的概率是0．3；丙擊中9環、10環的概率是0．6、0．4，0．6+0．4=1，則丙擊中8環及其以下環數是不可能事件．
（1）記在一輪比賽中“丙擊中的環數不超過甲擊中的環數”為事件
，包括“丙擊中9環且甲擊中9或10環”、“丙擊中10環且甲擊中10環”兩個互斥事件，則
．
（2）記在一輪比賽中，“甲擊中的環數超過丙擊中的環數”為事件
，“乙擊中的環數超過丙擊中的環數”為事件
，則與相互獨立，且
，
．
所以在一輪比賽中，甲、乙擊中的環數都沒有超過丙擊中的環數的概率為：
．
20．（1）證：已知
是正三棱柱，取
中點，
中點，連
，
，則、
、兩兩垂直，以、、為、、軸建立空間直角坐標系，又已知
，
則
．
，
，則
，又因
與
相交，故
面
．
（2）解：由（1）知，
是面的一個法向量．
，設
是面
的一個法向量，則
①，
②，取
，聯立式①與式②解得
，則
．
二面角
是銳二面角，記其大小為
．則
，
二面角
的大小
，亦可用傳統方法解決（略）．
21．解：
．
（1）
在
處取得極值，則
．
（2）
，
恒成立，
必有解．
易知函數
圖象（拋物線）對稱軸方程是
．
在
上是增函數，則
時恒有
，進而必有（數形結合）
或
或
，
故
的取值范圍是：
．
22．解：（1）已知
，求得線段
的兩個三等分點
、
，直線
過時，
，直線過時，
，故
或
．
（2）已知是橢圓短軸端點和焦點，易求得橢圓方程是：
，所在直線的方程為
．
直線與橢圓相交于、，設
，
，由直線與線段相交（交點不與、重合）知
．
點在橢圓上，則
，解得
到直線的距離
，
點
到直線的距離；
設
，則
，由知
，則：
，
當
即
時，
取到最大值
．
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，0與
中，0距
更遠，當
且
時，
，
．
∴四邊形
的面積
，當時，
．
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