如圖所示，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為1，點E在棱AA₁上，A₁C∥平面EBD，截面EBD的面積為

2

2

．
（1）A₁C與底面ABCD所成角的大小；
（2）若AC與BD的交點為M，點T在CC₁上，且MT⊥BE，求MT的長．

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如圖所示，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為1，點E在棱AA₁上，A₁C∥平面EBD，截面EBD的面積為．
（1）A₁C與底面ABCD所成角的大小；
（2）若AC與BD的交點為M，點T在CC₁上，且MT⊥BE，求MT的長．

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如圖所示，已知在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長AB=2，側棱BB₁的長為4，E為C₁C上的點，且CE=1，
（1）求證：A₁C⊥平面BDE；
（2）求A₁B與平面BDE所成的角的正弦值．

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1．A      2．C       3．B       4，C       5．B       6．B       7．C      8．B       9．C       10．B 

11．B     12．D

1．，在復平面對應的點在第一象限．

3．當時，函數在上，恒成立即在上恒成立，可得

       當時，函數在上，恒成立

即在上恒成立

可得，對于任意恒成立

所以，綜上得．

4．解法一：聯立，得．

方程總有解，需恒成立

即恒成立，得恒成立

       ；又

的取值范圍為．

解法二：數形結合，因為直線恒過定點（0，1），欲直線與橢圓總有交點，當且僅當點（0，1）在橢圓上或橢圓內，即

       又

       的取值范圍為．

5．

6．（略）

7．展開式前二項的系數滿足可解得，或（舍去）．從而可知有理項為．

8．，欲使為奇函數，須使，觀察可知，、不符合要求，若，則，其在上是減函數，故B正確

當時，，其在上是增函數，不符合要求．

9．等價于

畫圖可知，故．

10．如圖甲所示．設，點到直線的距離為

則由拋物線定義得，由點在雙曲線上，及雙曲線第一定義得

       ，又由雙曲線第二定義得，解之得．

11．由巳知中獎20元的概率；中獎2元的概率，中獎5元的概率，由上面知娛樂中心收費為1560元．付出元，收入元，估計該中心收入480元．

12．設中點為，連．由已知得平面，作，交的延長線于，蓮．則為所求，設，則，在

中可求出，則．

二、

13．．提示：可以用換元法，原不等式為也可以用數形結合法．

令，在同一坐標系內分別畫出這兩個函數的圖象，由圖直觀得解集．

14．12．提示：經判斷，為截面圓的直徑，再由巳知可求出球的半徑為．

15．．提示：由于得

解得，又

所以，當時，取得最小值．

16．①②④

三、

17．懈：

，由正弦定理得，

又，

，化簡得

為等邊三角形．

說明；本題是向量和三角相結合的題目，既考查了向量的基本知識，又考查了三角的有關知識，三角形的形狀既可由角確定。也可由邊確定，因此既可從角入手，把邊化為角；也可從邊入手，把角化為邊來判斷三角形的形狀．

18．解：（1）分別記“客人游覽甲景點”、“客人游覽乙景點”、 “客人游覽丙景點”為事件、、．由已知、、相互獨立，，客人游覽的景點數的可能取值為0，1，2．3，相應地客人沒有游覽的景點的可能取值為3，2，1，0，的取值為1，3，且

              的分布列為          

1

3

0．76

0．24

              ．

（2）解法一：在上單凋遞增，要使在上單調遞增，

當且僅當，即．從而．

解法二：當時，在單調遞增當時，在不單調遞增，．

19．解：（1）因

故是公比為的等比數列，且

故．

（2）由得

注意到，可得，即

記數列的前項和為，則

兩式相減得：

故

從而

．

20．解：（1）如圖所示，連接因為平面，平面平面，平面平面所以；又為的中點，故為的中點

              底面

              為與底面所成的角

              在中，

              所以與底面所成的角為45°．

（2）解琺一；如圖建立直角坐標系

       則，               

                                     設點的坐標為

              故          

              點的坐標為

              故．

       解法二：平面

              ，又

              平面

在正方形中，

．

21．解：（1）設點、的坐標分別為、點的坐標為

當時，設直線的斜率為

直線過點

的方程為

又已知                                               ①

                                                           ②

                                                        ③

                                                ④

∴式①一式②得

          ⑤

③式+④式得

                             ⑥

              ∴由式⑤、式⑥及

              得點的坐標滿足方程

                                        ⑦

當時，不存在，此時平行于軸，因此的中點一定落在軸上，即的坐標為,顯然點(，0）滿足方程⑦

綜上所述，點的坐標滿足方程

設方程⑦所表示的曲線為

則由,

得

因為，又已知，

所以當時．，曲線與橢圓有且只有一個交點，

當時，，曲線與橢圓沒有交點，因為（0，0）在橢圓內，又在曲線上，所以曲線在橢圓內，故點的軌跡方程為

（2）由解得曲線與軸交于點（0，0），（0，）

由解得曲線與軸交于點（0，0）．（，0）

當，即點為原點時，（，0）、（0，）與（0．0）重合，曲線與坐標軸只有一個交點（0，0）．

當，且，即點不在橢圓外且在除去原點的軸上時，曲線與坐標軸有兩個交點（0，）與（0，0），同理，當且時，曲線與坐標軸有兩個交點（，0）、（0，0）．

當，且時，即點不在橢圓外，且不在坐標軸上時，曲線與坐標軸有三個交點（，0）、（0，）與（0，0）．

22．解：（1）由

故直線的斜率為1．切點為，即（1，0），故的方程為：，

              ∴直線與的圖象相切．等價于方程組，只有一解，

              即方程有兩個相等實根．

              ．

       （2），由

              ，，當時，是增函數。即

的單調遞增區間為（，0）．

（3）由（1）知，，令

       由

令，則

當變化時，的變化關系如下表：

（）

ㄊ

0

極大植ln2

（，0）

ㄋ

0

0

極小植

（0，1）

ㄊ

1

0

極大值ln2

（1，）

ㄋ

據此可知，當時，方程有三解

當，方程有四解

當或時，方程有兩解

當時，方程無解．

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