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某城市有甲、乙、丙、丁4個旅游景點，一位客人游覽這4個景點的概率都是0.6，且客人是否游覽哪個景點互不影響．設表示客人離開該城市時游覽的景點數與沒有游覽的景點數之差的絕對值．
（1）求的分布列及數學期望；
（2）記“函數在區間上單調遞增”為事件A，求事件A的概率．

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1．A      2．C       3．B       4，C       5．B       6．B       7．C      8．B       9．C       10．B 

11．B     12．D

1．，在復平面對應的點在第一象限．

3．當時，函數在上，恒成立即在上恒成立，可得

       當時，函數在上，恒成立

即在上恒成立

可得，對于任意恒成立

所以，綜上得．

4．解法一：聯立，得．

方程總有解，需恒成立

即恒成立，得恒成立

       ；又

的取值范圍為．

解法二：數形結合，因為直線恒過定點（0，1），欲直線與橢圓總有交點，當且僅當點（0，1）在橢圓上或橢圓內，即

       又

       的取值范圍為．

5．

6．（略）

7．展開式前二項的系數滿足可解得，或（舍去）．從而可知有理項為．

8．，欲使為奇函數，須使，觀察可知，、不符合要求，若，則，其在上是減函數，故B正確

當時，，其在上是增函數，不符合要求．

9．等價于

畫圖可知，故．

10．如圖甲所示．設，點到直線的距離為

則由拋物線定義得，由點在雙曲線上，及雙曲線第一定義得

       ，又由雙曲線第二定義得，解之得．

11．由巳知中獎20元的概率；中獎2元的概率，中獎5元的概率，由上面知娛樂中心收費為1560元．付出元，收入元，估計該中心收入480元．

12．設中點為，連．由已知得平面，作，交的延長線于，蓮．則為所求，設，則，在

中可求出，則．

二、

13．．提示：可以用換元法，原不等式為也可以用數形結合法．

令，在同一坐標系內分別畫出這兩個函數的圖象，由圖直觀得解集．

14．12．提示：經判斷，為截面圓的直徑，再由巳知可求出球的半徑為．

15．．提示：由于得

解得，又

所以，當時，取得最小值．

16．①②④

三、

17．懈：

，由正弦定理得，

又，

，化簡得

為等邊三角形．

說明；本題是向量和三角相結合的題目，既考查了向量的基本知識，又考查了三角的有關知識，三角形的形狀既可由角確定。也可由邊確定，因此既可從角入手，把邊化為角；也可從邊入手，把角化為邊來判斷三角形的形狀．

18．解：（1）分別記“客人游覽甲景點”、“客人游覽乙景點”、 “客人游覽丙景點”為事件、、．由已知、、相互獨立，，客人游覽的景點數的可能取值為0，1，2．3，相應地客人沒有游覽的景點的可能取值為3，2，1，0，的取值為1，3，且

              的分布列為          

1

3

0．76

0．24

              ．

（2）解法一：在上單凋遞增，要使在上單調遞增，

當且僅當，即．從而．

解法二：當時，在單調遞增當時，在不單調遞增，．

19．解：（1）因

故是公比為的等比數列，且

故．

（2）由得

注意到，可得，即

記數列的前項和為，則

兩式相減得：

故

從而

．

20．解：（1）如圖所示，連接因為平面，平面平面，平面平面所以；又為的中點，故為的中點

              底面

              為與底面所成的角

              在中，

              所以與底面所成的角為45°．

（2）解琺一；如圖建立直角坐標系

       則，               

                                     設點的坐標為

              故          

              點的坐標為

              故．

       解法二：平面

              ，又

              平面

在正方形中，

．

21．解：（1）設點、的坐標分別為、點的坐標為

當時，設直線的斜率為

直線過點

的方程為

又已知                                               ①

                                                           ②

                                                        ③

                                                ④

∴式①一式②得

          ⑤

③式+④式得

                             ⑥

              ∴由式⑤、式⑥及

              得點的坐標滿足方程

                                        ⑦

當時，不存在，此時平行于軸，因此的中點一定落在軸上，即的坐標為,顯然點(，0）滿足方程⑦

綜上所述，點的坐標滿足方程

設方程⑦所表示的曲線為

則由,

得

因為，又已知，

所以當時．，曲線與橢圓有且只有一個交點，

當時，，曲線與橢圓沒有交點，因為（0，0）在橢圓內，又在曲線上，所以曲線在橢圓內，故點的軌跡方程為

（2）由解得曲線與軸交于點（0，0），（0，）

由解得曲線與軸交于點（0，0）．（，0）

當，即點為原點時，（，0）、（0，）與（0．0）重合，曲線與坐標軸只有一個交點（0，0）．

當，且，即點不在橢圓外且在除去原點的軸上時，曲線與坐標軸有兩個交點（0，）與（0，0），同理，當且時，曲線與坐標軸有兩個交點（，0）、（0，0）．

當，且時，即點不在橢圓外，且不在坐標軸上時，曲線與坐標軸有三個交點（，0）、（0，）與（0，0）．

22．解：（1）由

故直線的斜率為1．切點為，即（1，0），故的方程為：，

              ∴直線與的圖象相切．等價于方程組，只有一解，

              即方程有兩個相等實根．

              ．

       （2），由

              ，，當時，是增函數。即

的單調遞增區間為（，0）．

（3）由（1）知，，令

       由

令，則

當變化時，的變化關系如下表：

（）

ㄊ

0

極大植ln2

（，0）

ㄋ

0

0

極小植

（0，1）

ㄊ

1

0

極大值ln2

（1，）

ㄋ

據此可知，當時，方程有三解

當，方程有四解

當或時，方程有兩解

當時，方程無解．

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