題目列表(包括答案和解析)
（本題滿分12分）已知拋物線
,橢圓經過點
，它們在
軸上有共同焦點，橢圓的對稱軸是坐標軸。
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是橢圓上的點，設T的坐標為
（
是已知正實數），求P與T之間的最短距離。
（本題滿分12分）已知橢圓
的離心率為
，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線
相切.
（I）求橢圓
的方程；
（II）設P(4,0),A,B是橢圓上關于
軸對稱的任意兩個不同的點，連接
交橢圓于另一點
，證明直線
與軸相交于定點
；
（Ⅲ）在（II）的條件下，過點的直線與橢圓交于
兩點，求
的取值范圍.
.（本題滿分12分）
給定橢圓
＞
＞0
，稱圓心在原點
，半徑為
的圓是橢圓
的“伴隨圓”．若橢圓的一個焦點為
，其短軸上的一個端點到
的距離為
．
（1）求橢圓的方程及其“伴隨圓”方程；
（2）若傾斜角為
的直線
與橢圓C只有一個公共點，且與橢圓的“伴隨圓”相交于M、N兩點，求弦MN的長；
（3）點
是橢圓的“伴隨圓”上的一個動點，過點作直線
，使得與橢圓都只有一個公共點，求證：
。
（本題滿分12分）
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，是橢圓
+
=(a＞b＞0)上的兩點，已知向量m=(
，
)，n=(
，
)，若m·n=0且橢圓的離心率e=
，短軸長為2，O為坐標原點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由..
（本題滿分12分）
已知橢圓
的焦點在
軸上，中心在原點，離心率
，直線
和以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓
相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設橢圓的左、右頂點分別為
、
，點
是橢圓上異于、的任意一點，設直線
、
的斜率分別為
、
，證明
為定值；
（Ⅲ）設橢圓方程
，、為長軸兩個端點， 為橢圓上異于、的點， 、分別為直線、的斜率，利用上面（Ⅱ）的結論得
（ ）（只需直接寫出結果即可，不必寫出推理過程）．
一、
1．C 2．A 3．D 4．C 5．A 6．B 7．A 8．C 9．D 10．C
11．D 12．B
1～5略
6．
或
．
7．解：
．
其展開式中含
的項是：
，系數等于
．
8．解：根據題意：
．
9．解：
，橢圓離心率為
，
，
．
10．解：依腰意作出圖形．取
中點
，連接
、
，則
，不妨設四面體棱長為2，則
是等腰三角形，
必是銳角，就是
與
所成的角，
．
11．解：已知兩腰所在直線斜率為1，
，設底邊所在直線斜率為
，已知底角相等，由到角公式得：
，解得
或
．
由于等腰三角底邊過點（
，0）則只能取
．
12．解：如圖，正四面體
中，
是
中心，連
，此四面體內切球與外接球具有共同球心
．必在上，并且
等于內切球半徑，
等于外接球半徑．記
面積為
，則
，從而
．
二、
13．
．解：
，
與
共線
．
14．
．解：
，曲線
在（1，0）處的切線與直線
垂直，則
，的傾角是．
15．曲線
①，化作標準形式為
，表示橢圓，由于對稱性．取焦點
，過且傾角是135°的弦所在直線方程為：
，即
②，聯立式①與式②．消去y，得：
，由弦長公式得：
．
16．充要條件①：底面是正三角形，頂點在底面的射影恰是底面的中心．
充要條件②：底面是正三角形．且三條側棱長相等，
充要條件③：底面是正三角形，且三個側面與底面所成角相等．
再如：底面是正三角形．且三條側棱與底面所成角相等；三條側棱長相等，且三個側面與底面所成角相等；三個側面與底面所成角相等，三個側面兩兩所成二面角相等．
三、
17．解：
，則
，
，
．由正弦定理得
，
．
18．（1）證：已知
是正三棱柱，取
中點，
中點，連
，
，則、
、兩兩垂直，以、、為、
、
軸建立空間直角坐標系，又已知
，
則
．
，
，則
，又因
與
相交，故
面
．
（2）解：由（1）知，
是面的一個法向量．
，設
是面
的一個法向量，則
①，
②，取
，聯立式①、②解得
，則
．
二面角
是銳二面角，記其大小為
．則
，
二面角的大小
，亦可用傳統方法解（略）．
19．解：已知各投保學生是否出險相互獨立，且每個投保學生在一年內出險的概率都是
，記投保的5000個學生中出險的人數為
，則
（5000，0．004）即服從二項分布．
（1）記“保險公司在學平險險種中一年內支付賠償金至少5000元”為事件A，則
，
．
（2）該保險公司學平險除種總收入為
元=25萬元，支出成本8萬元，支付賠償金5000元=0．5萬元，盈利
萬元．
由~
知，
，
進而
萬元．
故該保險公司在學平險險種上盈利的期望是7萬元．
20．解（1）：由
得
，即
，
，而
由表可知，
在
及
上分別是增函數，在
及
上分別是減函數．
．
（2）
時，
等價于
，記
，
則
，因
，
則
在
上是減函數，
，故
．
當
時，
就是
，顯然成立，綜上可得
的取值范圍是：
22．解：（1）由條件可知橢圓的方程是：
①，直線
的方程是
②，
聯立式①、②消去并整理得
，由此出發時，
是等比數列，
．
（2）由（1）可知，
．當
時，
，
是遞減數列
對恒成立
．
，
時，是遞減數列．
21．解（1）：
，由
解得函數定義域呈
．
，由
解得
，列表如下：
0
0
ㄊ
極大
ㄋ
ㄋ
極小
ㄊ
解得
，進而求得中點
．
己知
在直線
上，則
．
（2）
．
設
，則
，點
到直線的距離
．
，由于直線與線段相交于
，則
，則
．
記
，則
．
其次，
，同理求得
到的中離：
，
設
，即
，由
得
．
，
即
且
時，
．
又
，當
即
時，
．注意到
，由對稱性，
時仍有
故
，進而
．
故四邊形的面積：
，
當時，
．
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