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已知AA₁⊥平面ABC，AA₁=AB=BC=CA=3，P為A₁B上的點。

（1）當P為A₁B的中點時，求證：AB⊥PC ；
（2）當時，求二面角P-BC-A平面角的余弦值。

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一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中、分別是、的中點，是上的一動點，主視圖與俯視圖都為正方形。

⑴求證：；
⑵當時，在棱上確定一點，使得∥平面，并給出證明。
⑶求二面角的平面角余弦值。

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如圖：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA＝AB＝1，點E、F分別是BC、PB的中點．

(Ⅰ)證明：EF∥平面PAC；

(Ⅱ)當AD等于何值時，二面角P－DE－A的大小為30°；

(Ⅲ)求二面角P－DE－A余弦值的取值范圍．

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

D

A

A

A

A

B

B

A

D

二、填空題

11. 8 + ； 12. 60；  13.；    14.  14；   15. .

三、解答題

16. 解：（1）依題意的,所以,于是       ……………2分

由解得                                             ……………4分

把代入,可得,所以,

所以,因為,所以 綜上所述，   …………7分

（2）令，得，又  

故 函數的零點是                   ……………10分

 由得

函數的單調遞增區間是                                ……………13分

17. 解：（1）當為中點時,有平面        ………2分

證明:連結交于,連結∵四邊形是矩形  ∴為中點

又為中點,從而  ……………………………4分

∵平面,平面∴平面……………6分

（2）建立空間直角坐標系如圖所示,則,,,,  ……7分

所以,.   ……………………………8分

設為平面的法向量,則有,即令,可得平面的一個法向量為,

而平面的一個法向量為                                       ……………11分

所以所以二面角的余弦值為……………13分

18. 解:

19．解：

（1）依題意雙曲線方程可化為則=4

點P的軌跡是以為焦點的橢圓，其方程可設為

由得

則所求橢圓方程為，

故動點P的軌跡E的方程為；………………3分

（2）設,則由，可知

在中

又即

當且僅當時等號成立．故的最小值為………………6分

（3）當與軸重合時，構不成角AMB，不合題意．

當軸時，直線的方程為，代入解得、的坐標分別為、   而，∴，猜測為定值．………8分

證明：設直線的方程為，由  ，得

∴ ， ………10分

∴

∴ 為定值。(AB與點M不重合)  ……13分

20．解：

（1）當時,由得；當時由得

綜上：當時函數的定義域為； 當時函數的定義域為………3分

（2）………5分

令時，得即，

①當時，時，當時，，

故當 時，函數的遞增區間為，遞減區間為

②當時，，所以，

故當時，在上單調遞增．

③當時，若，;若，，

故當時，的單調遞增區間為;單調遞減區間為．

綜上：當時，的單調遞增區間為;單調遞減區間為

當時，的單調遞增區間為;

當時，的單調遞增區間為;單調遞減區間為;   …10分

（Ⅲ）因為當時，函數的遞增區間為;單調遞減區間為

若存在使得成立，只須，

即    ………14分

21．（本題滿分14分，共3小題，任選其中2題作答，每小題7分）

 (1)選修4－2：矩陣與變換

解：由 M=  N= 可得

的特征多項式為

令得矩陣的特征值為

再分別求得對應于特征值的特征向量…………7分

(2) 選修4－5：不等式選講

（1）解：依題意可知 ，

則函數的圖像如圖所示：

（2）由函數的圖像容易求得原不等式的解集為…………7分

(3) 選修4－4：坐標系與參數方程

解：由 即則易得由易得

圓心到直線的距離為

又圓的半徑為2 , 圓上的點到直線的距離的最小值為…………7分