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在圓中有結(jié)論：如圖所示，“AB是圓O的直徑，直線AC，BD是圓O過A，B的切線，P是圓O上任意一點，CD是過P的切線，則有PO²＝PC·PD”．類比到橢圓：“AB是橢圓的長軸，直線AC，BD是橢圓過A，B的切線，P是橢圓上任意一點，CD是過P的切線，則有__▲__．”

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如圖，在半徑為l的球O中．AB、CD是兩條互相垂直的直徑，半徑OP⊥平面ABCD．點E、F分別為大圓上的劣弧、的中點，給出下列結(jié)論：
①向量在向量方向上的投影恰為；
②E、F兩點的球面距離為；
③球面上到E、F兩點等距離的點的軌跡是兩個點；
④若點M為大圓上的劣弧的中點，則過點M且與直線EF、PC成等角的直線只有三條，其中正確的是（ ）

A．②④
B．①④
C．②
D．②③

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如圖，在半徑為l的球O中．AB、CD是兩條互相垂直的直徑，半徑OP⊥平面ACBD．點E、F分別為大圓上的劣弧、的中點，給出下列結(jié)論：
①E、F兩點的球面距離為；
②向量在向量方向上的投影恰為；
③若點M為大圓上的劣弧的中點，則過點M且與直線EF、PC成等角的直線有無數(shù)條；
④球面上到E、F兩點等距離的點的軌跡是兩個點；
其中你認為正確的所有結(jié)論的序號為    ．

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

D

A

A

A

A

B

B

A

D

二、填空題

11. 8 + ； 12. 60；  13.；    14.  14；   15. .

三、解答題

16. 解：（1）依題意的,所以,于是       ……………2分

由解得                                             ……………4分

把代入,可得,所以,

所以,因為,所以 綜上所述，   …………7分

（2）令，得，又  

故 函數(shù)的零點是                   ……………10分

 由得

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是                                ……………13分

17. 解：（1）當為中點時,有平面        ………2分

證明:連結(jié)交于,連結(jié)∵四邊形是矩形  ∴為中點

又為中點,從而  ……………………………4分

∵平面,平面∴平面……………6分

（2）建立空間直角坐標系如圖所示,則,,,,  ……7分

所以,.   ……………………………8分

設為平面的法向量,則有,即令,可得平面的一個法向量為,

而平面的一個法向量為                                       ……………11分

所以所以二面角的余弦值為……………13分

18. 解:

19．解：

（1）依題意雙曲線方程可化為則=4

點P的軌跡是以為焦點的橢圓，其方程可設為

由得

則所求橢圓方程為，

故動點P的軌跡E的方程為；………………3分

（2）設,則由，可知

在中

又即

當且僅當時等號成立．故的最小值為………………6分

（3）當與軸重合時，構(gòu)不成角AMB，不合題意．

當軸時，直線的方程為，代入解得、的坐標分別為、   而，∴，猜測為定值．………8分

證明：設直線的方程為，由  ，得

∴ ， ………10分

∴

∴ 為定值。(AB與點M不重合)  ……13分

20．解：

（1）當時,由得；當時由得

綜上：當時函數(shù)的定義域為； 當時函數(shù)的定義域為………3分

（2）………5分

令時，得即，

①當時，時，當時，，

故當 時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為

②當時，，所以，

故當時，在上單調(diào)遞增．

③當時，若，;若，，

故當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為．

綜上：當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為

當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為;

當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為;   …10分

（Ⅲ）因為當時，函數(shù)的遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為

若存在使得成立，只須，

即    ………14分

21．（本題滿分14分，共3小題，任選其中2題作答，每小題7分）

 (1)選修4－2：矩陣與變換

解：由 M=  N= 可得

的特征多項式為

令得矩陣的特征值為

再分別求得對應于特征值的特征向量…………7分

(2) 選修4－5：不等式選講

（1）解：依題意可知 ，

則函數(shù)的圖像如圖所示：

（2）由函數(shù)的圖像容易求得原不等式的解集為…………7分

(3) 選修4－4：坐標系與參數(shù)方程

解：由 即則易得由易得

圓心到直線的距離為

又圓的半徑為2 , 圓上的點到直線的距離的最小值為…………7分