題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）如圖，在四面體A−BCD中，AD^平面BCD，BC^CD，AD=2，BD=2．M是AD的中點.
（1）證明：平面ABC
平面ADC；
（2）若ÐBDC=60°，求二面角C−BM−D的大小．
（本小題滿分14分）
如圖，在四面體PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分別是PA，AC、CB、BP的中點．
(1)求證：D、E、F、G四點共面；
(2)求證：PC⊥AB；
(3)若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，
，求四面體PABC的體積．
（本小題滿分14分）如圖，在四面體A?BCD中，AD^平面BCD，BC^CD，AD=2，BD=2．M是AD的中點.
（1）證明：平面ABC
平面ADC；
（2）若ÐBDC=60°，求二面角C?BM?D的大小．
（本小題滿分14分）
如圖，在四面體PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分別是PA，AC、CB、BP的中點．
(1)求證：D、E、F、G四點共面；
(2)求證：PC⊥AB；
(3)若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，
，求四面體PABC的體積．
平面ADC；一、選擇題：D C B B A C A C
二、填空題：9、60 ； 10、8 11、
；12、
13、
；14、1：6 ; 15、
三、解答題：
16、解：解: ( 1) 由圖知A= 4…………1分 由
,得
所以
…3分
由 
,得
……………5分,
所以,
……………6分
(2) ①由
得圖象向左平移
單位得
的圖象……………8分
② 再由圖象的橫坐標縮短為原來
得
的圖象…………10分
③由的圖象縱坐標伸長為原來的4倍得的圖象…………12分
17、解：1）3個旅游團選擇3條不同線路的概率為：P1=
……4分
（2）設選擇甲線路旅游團數為ξ，則ξ=0，1，2，3………………5分
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）= 
P（ξ=3）= 
…9分
ξ
0
1
2
3
∴ξ的分布列為：
………………10分
∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=
………………12分
18、（本小題14分）
(1) 因為動圓M,過點F
且與直線
相切,所以圓心M到F的距離等于到直線
的距離.所以,點M的軌跡是以F為焦點, 為準線的拋物線,且
,
,
所以所求的軌跡方程為
……………5分
(2) 假設存在A,B在上,
所以,直線AB的方程:
,即
即AB的方程為:
,即
即:
，令
,得
，所以,無論
為何值,直線AB過定點(4,0)
19．解：解:方法一：⑴．證明：連結OC 
………… 1分
，
．
……… 2分
在
中，由已知可得
… 3分
而
， 
………………… 4分
即
………………… 5分
∴
平面
． …………………………… 6分
⑵．解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知
，
∴ 直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角，…………… 8分
在
中，
是直角斜邊AC上的中線，
∴
……………9分 ∴
………… 10分
∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為
．
………………………… 11分
⑶．解：設點E到平面ACD的距離為
． 
，
…12分
在
中，
,
,而
，
．
∴
， ∴點E到平面ACD的距離為
…14分
方法二：⑴．同方法一．⑵．解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則
， …………… 9分
∴ 異面直線AB與CD所成角的余弦值為．…… 10分
⑶．解：設平面ACD的法向量為
則
，∴
，令
得
是平面ACD的一個法向量．又
∴點E到平面ACD的距離 
．…14分
20. （Ⅰ）
，
……1分
∴當
時，
，此時
單調遞減
當
時，
，此時單調遞增 ……3分
∴的極小值為
……4分
（Ⅱ）的極小值為1，即在
上的最小值為1， ∴ 
，
……5分
令
，
， ……6分
當
時，
，
在上單調遞增 ……7分
∴
∴在（1）的條件下，
……9分
（Ⅲ）假設存在實數
，使
（
）有最小值3，
…9分
① 當
時，在上單調遞減，
，
（舍去），所以，
此時無最小值. ……10分 ②當
時，在
上單調遞減，在
上單調遞增
，
，滿足條件. ……11分
③ 當
時，在上單調遞減，，（舍去），所以，此時無最小值.綜上，存在實數，使得當時有最小值3.
21. 解: (1) 
,兩邊加
得: 
,
是以2為公比, 
為首項的等比數列. 
……①
由
兩邊減
得: 
是以
為公比, 
為首項的等比數列. 
……②
①-②得: 
所以,所求通項為
…………5分
(2) 當
為偶數時,
當為奇數時,
,
,又
為偶數
由(1)知, 
……………………10分
（3）證明：
又
……12分
………………-14分
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