在平面直角坐標系中,曲線的參數方程為

   點是曲線上的動點.

  （1）求線段的中點的軌跡的直角坐標方程；

  （2） 以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，若直線的極坐標方程為，求點到直線距離的最大值.

【解析】第一問利用設曲線上動點，由中點坐標公式可得

所以點的軌跡的參數方程為

消參可得

第二問，由題可知直線的直角坐標方程為，因為原點到直線的距離為，

所以點到直線的最大距離為

已知橢圓過點且它的離心率為．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直l₁于點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；
（3）已知動直線l過點Q（4，0），交軌跡C₂于R、S兩點．是否存在垂直于x軸的直線m被以RQ為直徑的圓O₁所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．