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數列{a_n}滿足a₁=1且．
（1）用數學歸納法證明：a_n≥2（n≥2）
（2）設，證明數列{b_n}的前n項和
（3）已知不等式ln（1+x）＜x對x＞0成立，證明：（n≥1）（其中無理數e=2.71828…）

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一、選擇題：本答題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把它選出來填涂在答題卡上。

1．A

2．D    對“若則”的否定已經不是“四種命題”中的任何一種，而是表示“合取”命題；且非，即反設命題的結論不成立為非，選D。

3．B    因為，所以，當時，分母最小，從而最大為2，選B。

4．C

5．B    設等差數列的前三項為（其中），則

于是它的首項是2，選B

6．D    因為的反函數的圖像經過點，所以函數的圖像經過點，于是，解得，選D

7．D    在直角坐標系中較準確地作出點A、B、C，并結合代值驗證，可知A、C兩點的坐標不滿足選擇支D的解析式，選D。

8．C    因為分母的極限為零，不能直接使用商的極限運算法則，但這里分子的極限也是零，分子、分母極限之所以為零，就式因為分子、分母都包含有的因子，先把零因式消去，然后再求極限，得

，選C。

9．A    函數的定義域為（0，+），當≥1時，≥0，有；當時，，有，選A。

10．B    根據圖像可知，當時，函數圖像從左到右是上升的，表明對數函數是增函數，∴a、b均大于1，排除C、D。于是取＝2，得，有

，選B.

11．A    由可得    和。容易驗證，即。而滿足條件：“”的附屬不一定滿足條件：“”，比如取，即。選A.

12．C    設，則B,有

，∴。由于A、B兩點在函數的圖象上，則＝1，∴，而點A又在函數的圖像上，∴，得，有，于是，選C。

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上。

13．或等。

14．原式＝。

15．由圖知車速小于90km/h的汽車總數的頻率之和為（0.01+0.02+0.04）×10＝0.7，∴車速不小于90km/h的汽車總數的頻率之和為1－0.7＝0.3。因此在這一時段內通過該站的車速不小于90km/h的汽車有1000×0.3＝300輛。

16．原不等式等價于，令，則，當時，，當時，。故

∴，∴。

三、解答題：本答題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或驗算步驟。

17．（本題滿分12分）

解法一 原不等式等價于

                     或

                                                   ………………12分

解法二 原不等式等價于

或

或

說明  本題是教材第一冊上頁習題1.5第5題：解不等式的改變，這是關于的二次雙連不等式，若轉化為兩個二次不等式組成的不等式組來解時，只要善于正確因式分解，數軸標根，也能快速解決。

18．（本題滿分12分）

（1）當時，等式左邊＝，右邊＝，所以對n＝2時，等式成立。………………2分

（2）假設當時，等式成立，即，則對n＝k+1時，，而）＝＝＝，表明時，等式成立。              ………………10分

由（1），（2）可知對一切的自然數等式都成立。                …………12分

19．（本題滿分12分）

設表示每臺的利潤，y表示周銷售量，則經過了點（20，0），（0，35），

∴解得                     ………………4分

即或，其中

因此，商店一周中所獲利潤總額為：

每臺利潤×銷售量＝

                   ＝                ………8分

由于y是正整數，所以當周銷售量為y＝17或18時，利潤總額最大，為元，此時元或10.3元。               ………………12分

20．（本小題滿分12分）

（1）由得a＝0.18，得b＝0.36                           ………………4分

（2）甲種棉花纖維長度的期望為

_甲 ＝28×0.14+29×0.18+30×0.36+31×0.18+32×0.14＝30

_乙 ＝28×0.12+29×0.2+30×0.36+31×0.2+32×0.14＝30             ………8分

_甲＝

_乙＝

由于_甲>_乙，即乙種棉花纖維長度的方差小些，所以乙種棉花的質量較好些（纖維長度比較均勻）………………12分

說明：本題是選修教材17頁8題的改編。

21．（本題滿分12分）

（1）延長FE與AB交于點P，則

∵EP//BC，∴∽，

∴，即，∴，                  …………2分

在直角三角形AEP中，，，，

由勾股定理，得  （*）

即。                     ………………6分

∵  ∴（*）式成立的充要條件是，

所以y與x的函數關系式為，        ……8分

（2）因為，等號當且僅當，即時取得，                                          ………10分

       所以正方形的面積當時取得最大值………12分

       若由得,

       所以即，

       等式右端分子有理化，得

       ∴∵∴，

整理，得與的函數關系式為（）

22．（本題滿分14分）

（1）令，

則                        ……3分

因，∴，故函數在上是增函數。

又在處連續，所以，函數在上是增函數。

∴時，即  ………………6分

（2）令              ……8分

則

令，則，-1，1。                                    …10分

當x變化時，、的變化關系如下表：

（―1，0）

0

（0，1）

1

―

0

+

0

―

0

+

極小值

極大值0

極小值

據此可畫出的簡圖如下，…………12分

故存在，使原方程有4各不同實根。………………14分