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如圖所示，在棱長為2的正方體中，E、F分別為DD₁、BD的中點．  
（1）求證：EF∥面ABC₁D₁
（2）求證EF∥BD₁．
（3）求三棱錐VB1-EFC的體積．

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一、填空題

1、       2、       3、（1）（2）（3）（4）    4、    5、    6、3

7、       8、   9、    10、不能    11、    12、46    13、

14、（3）（4）

二、解答題

15、解：（1）sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

               =2sinαcos²α+(1-2sin²α)sinα

=2sinα(1-sin²α)+(1-2sin²α)sinα=3sinα-4sin³α ．

       （2）∵sin54°=cos36°，

       ∴3sin18°-4sin³18°=1-2sin18°．

       令t= sin18°，則上式可變形為3t-4t³=1-2t²，即

       (t-1)(4t²+2t-1)=0．

       解得  （t= 1與均不合，舍去）．

       ∴sin18°=．

16、證明：（1）連結，在中，、分別為，的中點，則

（2）

3）

     且 

，

∴   即    

=

= 

17、解：由已知圓的方程為，

按平移得到.

∵∴.

即.                                                      

又，且，∴.∴.

設， 的中點為D.

由，則，又.

∴到的距離等于.

即，           ∴.

∴直線的方程為：或.      

18、解：(1)如下圖

(2) =32.5+43+54+64.5=66.5

==4.5

==3.5

故線性回歸方程為y=0.7x+0.35

(3)根據回歸方程的預測，現在生產100噸產品消耗的標準煤的數量為0.7100+0.35=70.35

故耗能減少了90-70.35=19.65(噸)

19、解：（1）由

是首項為，公比為的等比數列

當時，， 

所以                                             

（2）由得(作差證明)

綜上所述當 時，不等式對任意都成立.

20．解：（1），由題意及導數的幾何意義得

，            　（1）

，          （2）            

又，可得，即，故

由（1）得，代入，再由，得

，                         （3）           

將代入（2）得，即方程有實根．

故其判別式得

，或，                （4）             

由（3），（4）得；                            

（2）由的判別式，

知方程有兩個不等實根，設為，

又由知，為方程（）的一個實根，則有根與系數的關系得

，                  

當或時，，當時，，

故函數的遞增區間為，由題設知，

因此，由（Ⅰ）知得

的取值范圍為；                          

（3）由，即，即，

因為，則，整理得，

設，可以看作是關于的一次函數，

由題意對于恒成立，

故 即得或，

由題意，，

故，因此的最小值為． 

理科加試題：

1、（1）“油罐被引爆”的事件為事件A，其對立事件為，則P()=C

∴P(A)=1-         答：油罐被引爆的概率為

（2）射擊次數ξ的可能取值為2，3，4，5， 

       P(ξ=2)=，   P(ξ=3)=C       ，

P(ξ=4)=C， P(ξ=5)=C 

ξ

2

3

4

5

        故ξ的分布列為：

Eξ=2×+3×+4×+5×=

2、解：（1）由圖形可知二次函數的圖象過點（0，0），（8，0），并且f(x)的最大值為16

則，

∴函數f（x）的解析式為

（2）由得

∵0≤t≤2，∴直線l₁與f（x）的圖象的交點坐標為（

由定積分的幾何意義知：

選做

1、解：（1）證明：連結．

因為與圓相切于點，所以．

因為是圓的弦的中點，所以．

于是．

由圓心在的內部，可知四邊形的對角互補，所以四點共圓．

（2）解：由（Ⅰ）得四點共圓，所以．

由（Ⅰ）得．

由圓心在的內部，可知．

所以．

2、解：在矩陣N=  的作用下，一個圖形變換為其繞原點逆時針旋轉得到的圖形，在矩陣M=  的作用下，一個圖形變換為與之關于直線對稱的圖形。因此

△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形與△ABC全等，從而其面積即為1

3、解：以極點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．

（1），，由得．

所以．

即為的直角坐標方程．

同理為的直角坐標方程．

（2）由解得．

即，交于點和．過交點的直線的直角坐標方程為．

4、解：

（1）令，則

．．．．．．．．．．．．．．．3分

作出函數的圖象，它與直線的交點為和．

所以的解集為．

（2）由函數的圖像可知，當時，取得最小值．

等于△ABC的面積，