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某企業生產一種產品，月產量x與成本y的歷史數據為：

x（件）	3	4	5	6
y（萬元）	2.5	3	4	4.5

（Ⅰ）根據上表提供的數據，求出y對x的回歸直線方程

y

=bx+a，其中

b= n i=1 (xi- . x )(yi- . y ) n i=1 ( x   i - . x )2 = n i=1 xiyi-n . x . y n i=1 x 2 i -n . x 2 a= . y -b . x .

；
（Ⅱ）預測月產量是8件時所需的成本．

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下表提供了某廠節能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x（噸）與相應的生產能耗Y（噸標準煤）的5組對照數據

x	3	4	5	6	7
Y	2.5	3	4	4.5	5

（1）請在給出的坐標系內畫出上表數據的散點圖；

（2）請根據上表提供的數據，求Y關于x的回歸直線方程；
（3）已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為92噸標準煤．試根據（2）求出的回歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤？（參考數據：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5+7×5=101.5）

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在測量一根新彈簧的勁度系數時，測得了如下的結果：

所掛重量（N）（x）	1	2	3	5	7	9
彈簧長度（cm）（y）	11	12	12	13	14	16

（1）請畫出上表所給數據的散點圖；
（2）彈簧長度與所掛重量之間的關系是否具有線性相關性，若具有請根據上表提供的數據，
求出y關于x的線性回歸方程

?

y

=bx+a；
（3）根據回歸方程，求掛重量為8N的物體時彈簧的長度．所求得的長度是彈簧的實際長度嗎？為什么？
注：本題中的計算結果保留小數點后一位．

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某種產品的廣告費用支出x萬元與銷售額y萬元之間有如下的對應數據：

x	2	4	6	8
y	20	30	70	80

（1）根據上表提供的數據，求出y關于x的線性回歸方程；
（2）據此估計廣告費用為10萬元時，所得的銷售收入．（參考數值：

4

i-1

x

2 i

=120，

4

i-1

x_iy_i=1220）

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一、ACBCD   DDCAB

二、11。       _{12。12         13。}

 14。

 15。②③⑤

三、16解：（I）

          。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 4分

         。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 6分

   （II）

       。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 8分

       。。。。。。。。。。。。。。。。。。。. 9分

 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。. 12分

       當   。。。。。。。。。。。。。。  13分

17解（1）連接B₁C，交BC₁于點O，則O為B₁C的中點，

        ∵D為AC中點    ∴OD∥B₁A。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 4分

        又B₁A平面BDC₁，OD平面BDC₁

         ∴B₁A∥平面BDC₁   。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

  （2）∵AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，AA₁∥CC₁

       ∴CC₁⊥面ABC   則BC⊥平面AC₁，CC₁⊥AC

      如圖以C為坐標原點，CA所在直線為X軸，CB所在直線為Y軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系 則C₁(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0) 。。。。。。。。。。。。。。。。。 8分

 ∴設平面的法向量為  由得

，取，  則。。。。。。。。。10分

 又平面BDC的法向量為。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 11分

       cos

∴二面角C₁―BD―C的余弦值為。。。。。。。。。13分

18解：（I）設周五有語文、數學、外語三科作業分別為事件A₁、A₂、A₃周五沒有語文、數學、外語三科作業為事件A，則由已知表格得

、、。。。。。。。。。。。。2分

。。。。。。。。。。4分

（II）設一周內有數學作業的天數為，則

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

  所以隨機變量的概率分布列如下：

0

1

2

3

4

5

P

   故 。。。。。。。。。。13分

19解:(Ⅰ)由題意,可設拋物線方程為.

由,得.拋物線的焦點為,.

拋物線D的方程為.  。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

(Ⅱ)設A由于O為PQ之中點,故當軸時由拋物線的對稱性知 。。。。。。。。。。。。。。。。。。

當不垂直軸時,設:,

由,

,,

                …

(Ⅲ)設存在直線滿足題意,則圓心,過M作直線的垂線,

垂足為E, 設直線與圓交于點，可得,

即  =

=

==                   

當時,,此時直線被以AP為直徑的圓截得的弦長恒為定值.…12分

因此存在直線滿足題意.                                  ……13分

20解：(Ⅰ) ，

． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

當時，． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分

當時，，此時函數遞減； 

當時，，此時函數遞增；

∴當時，取極小值，其極小值為． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

(Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）可知函數和的圖像在處有公共點，因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

設隔離直線的斜率為，則直線方程為，

即     ．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

由，可得當時恒成立．

， 由，得．。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

下面證明當時恒成立．

令，則

，  。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分

當時，．

  當時，，此時函數遞增；

當時，，此時函數遞減；

∴  當時，取極大值，也是最大值，其最大值為．   

從而，即恒成立．。。。。。。。13分             

∴  函數和存在唯一的隔離直線．。。。。。。。。。。。。。。。14分

解法二： 由(Ⅰ)可知當時， (當且當時取等號) ．。。。。。7分

若存在和的隔離直線，則存在實常數和，使得

和恒成立，

令，則且

，即． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

后面解題步驟同解法一．

21（！）解：PQ＝，

       PQ矩陣表示的變換T：滿足條件

         .　　 所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）

直線任取點，則點在直線上，

故，又，得　  所以　。。。。。（7分）

(2) （Ⅰ）曲線C的極坐標方程是化為直角坐標方程為:

    直線的直角坐標方程為：。。。。。。。。。3分

（Ⅱ）（法一）由（1）知：圓心的坐標為（2，0），圓的半徑R=2，

圓心到直線l的距離

或    。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

（法二）把（是參數）代入方程,

得,

.

或  。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

(3) 解:（Ⅰ）

函數如圖所示。。。。。。。。。。。。。3分

（Ⅱ）由題設知：

如圖，在同一坐標系中作出函數的圖象

（如圖所示） 又解集為.

    由題設知，當或時，且即

由得： 。。。。。。。。。。。。。。。。7分