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數學課上，張老師用六根長度均為a的塑料棒搭成了一個正三棱錐（如圖所示），然后他將其中的兩根換成長度分別為在

2

a和

3

a的塑料棒、又搭成了一個三棱錐，陳成同學邊聽課邊動手操作，也將其中的兩根換掉，但沒有成功，不能搭成三棱錐，如果兩人都將BD換成了長為

3

a的塑料棒．
（1）試問張老師換掉的另一根塑料棒是什么，而陳成同學換掉的另一根塑料棒又是什么？請你用學到的數學知識解釋陳成同學失敗的原因；
（2）試證：平面ABD⊥平面CBD；
（3）求新三棱錐的外接球的表面積．

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一、ACBCD   DDCAB

二、11。       _{12。12         13。}

 14。

 15。②③⑤

三、16解：（I）

          。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 4分

         。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 6分

   （II）

       。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 8分

       。。。。。。。。。。。。。。。。。。。. 9分

 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。. 12分

       當   。。。。。。。。。。。。。。  13分

17解（1）連接B₁C，交BC₁于點O，則O為B₁C的中點，

        ∵D為AC中點    ∴OD∥B₁A。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 4分

        又B₁A平面BDC₁，OD平面BDC₁

         ∴B₁A∥平面BDC₁   。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

  （2）∵AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，AA₁∥CC₁

       ∴CC₁⊥面ABC   則BC⊥平面AC₁，CC₁⊥AC

      如圖以C為坐標原點，CA所在直線為X軸，CB所在直線為Y軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系 則C₁(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0) 。。。。。。。。。。。。。。。。。 8分

 ∴設平面的法向量為  由得

，取，  則。。。。。。。。。10分

 又平面BDC的法向量為。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 11分

       cos

∴二面角C₁―BD―C的余弦值為。。。。。。。。。13分

18解：（I）設周五有語文、數學、外語三科作業分別為事件A₁、A₂、A₃周五沒有語文、數學、外語三科作業為事件A，則由已知表格得

、、。。。。。。。。。。。。2分

。。。。。。。。。。4分

（II）設一周內有數學作業的天數為，則

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

  所以隨機變量的概率分布列如下：

0

1

2

3

4

5

P

   故 。。。。。。。。。。13分

19解:(Ⅰ)由題意,可設拋物線方程為.

由,得.拋物線的焦點為,.

拋物線D的方程為.  。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

(Ⅱ)設A由于O為PQ之中點,故當軸時由拋物線的對稱性知 。。。。。。。。。。。。。。。。。。

當不垂直軸時,設:,

由,

,,

                …

(Ⅲ)設存在直線滿足題意,則圓心,過M作直線的垂線,

垂足為E, 設直線與圓交于點，可得,

即  =

=

==                   

當時,,此時直線被以AP為直徑的圓截得的弦長恒為定值.…12分

因此存在直線滿足題意.                                  ……13分

20解：(Ⅰ) ，

． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

當時，． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分

當時，，此時函數遞減； 

當時，，此時函數遞增；

∴當時，取極小值，其極小值為． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

(Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）可知函數和的圖像在處有公共點，因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

設隔離直線的斜率為，則直線方程為，

即     ．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

由，可得當時恒成立．

， 由，得．。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

下面證明當時恒成立．

令，則

，  。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分

當時，．

  當時，，此時函數遞增；

當時，，此時函數遞減；

∴  當時，取極大值，也是最大值，其最大值為．   

從而，即恒成立．。。。。。。。13分             

∴  函數和存在唯一的隔離直線．。。。。。。。。。。。。。。。14分

解法二： 由(Ⅰ)可知當時， (當且當時取等號) ．。。。。。7分

若存在和的隔離直線，則存在實常數和，使得

和恒成立，

令，則且

，即． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

后面解題步驟同解法一．

21（！）解：PQ＝，

       PQ矩陣表示的變換T：滿足條件

         .　　 所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）

直線任取點，則點在直線上，

故，又，得　  所以　。。。。。（7分）

(2) （Ⅰ）曲線C的極坐標方程是化為直角坐標方程為:

    直線的直角坐標方程為：。。。。。。。。。3分

（Ⅱ）（法一）由（1）知：圓心的坐標為（2，0），圓的半徑R=2，

圓心到直線l的距離

或    。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

（法二）把（是參數）代入方程,

得,

.

或  。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

(3) 解:（Ⅰ）

函數如圖所示。。。。。。。。。。。。。3分

（Ⅱ）由題設知：

如圖，在同一坐標系中作出函數的圖象

（如圖所示） 又解集為.

    由題設知，當或時，且即

由得： 。。。。。。。。。。。。。。。。7分