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已知數列是各項均不為0的等差數列，公差為d，為其前n項和，且滿足,．數列滿足,，為數列的前n項和．

（1）求數列的通項公式和數列的前n項和；

（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）是否存在正整數，使得成等比數列？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．

【解析】第一問利用在中，令n=1，n=2，

得   即      

解得，， [

又時，滿足，

，

第二問，①當n為偶數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   

 ，等號在n=2時取得．

此時 需滿足．  

②當n為奇數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     

 是隨n的增大而增大， n=1時取得最小值-6．

此時 需滿足．

第三問，

     若成等比數列，則，

即．

由，可得，即，

        ．

（1）（法一）在中，令n=1，n=2，

得   即      

解得，， [

又時，滿足，

，

．

（2）①當n為偶數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   

 ，等號在n=2時取得．

此時 需滿足．  

②當n為奇數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     

 是隨n的增大而增大， n=1時取得最小值-6．

此時 需滿足．

綜合①、②可得的取值范圍是．

（3），

     若成等比數列，則，

即．

由，可得，即，

．

又，且m>1，所以m=2，此時n=12．

因此，當且僅當m=2， n=12時，數列中的成等比數列

稱滿足以下兩個條件的有窮數列為階“期待數列”：

①；②.

（1）若等比數列為階“期待數列”，求公比q及的通項公式；

（2）若一個等差數列既是階“期待數列”又是遞增數列，求該數列的通項公式；

（3）記n階“期待數列”的前k項和為：

（i）求證：；

（ii）若存在使，試問數列能否為n階“期待數列”？若能，求出所有這樣的數列；若不能，請說明理由.

設滿足以下兩個條件的有窮數列為階“期待數列”：

①；②．

（1）若等比數列為 ()階“期待數列”，求公比；

（2）若一個等差數列既是 ()階“期待數列”又是遞增數列，求該數列的通項公式；

（3）記階“期待數列”的前項和為：

（ⅰ）求證：；

（ⅱ）若存在使，試問數列能否為階“期待數列”？若能，求出所有這樣的數列；若不能，請說明理由．

設滿足以下兩個條件得有窮數列為階“期待數列”：
①，②.
（1）若等比數列為階“期待數列”，求公比；
（2）若一個等差數列既為階“期待數列”又是遞增數列，求該數列的通項公式；
（3）記階“期待數列”的前項和為.
（）求證：；
（）若存在，使，試問數列是否為階“期待數列”？若能，求出所有這樣的數列；若不能，請說明理由.

稱滿足以下兩個條件的有窮數列為階“期待數列”：
①；②.
（1）若等比數列為階“期待數列”，求公比q及的通項公式；
（2）若一個等差數列既是階“期待數列”又是遞增數列，求該數列的通項公式；
（3）記n階“期待數列”的前k項和為：
（i）求證：；
（ii）若存在使，試問數列能否為n階“期待數列”？若能，求出所有這樣的數列；若不能，請說明理由.