題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）
已知函數f(x)=
x
－ax+(a－1)
，
。
（1）討論函數
的單調性； 
（2）證明：若
，則對任意x
，x
，x
x，有
。
（本小題滿分12分）已知函數f (x)的定義域為R，對任意的x
,x
都滿足f (x+x)=f (x)+f (x)，當x>0時，f (x)>0.(1)試判斷f (x)的奇偶性.(2)試判斷f (x)的單調性，并證明.(3)若f (cos2θ-3)+f (4m-2mcosθ)>0對所有的θ∈［0,
］恒成立，求實數m的取值范圍.
（本小題滿分12分）已知函數f (x) = a(
) + b．
（1）當a = 1時，求f (x)的單調遞減區間；（2）當a＜0時，f (x)在[0，
]上的值域是[2，3]，求a，b的值．
（本小題滿分12分）已知函數f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在區間[0,1]上單調遞增，在區間[1,2]上單調遞減.
(1)求a的值；
(2)記g(x)＝bx2－1，若方程f(x)＝g(x)的解集恰有3個元素，求b的取值范圍.
（本小題滿分12分）
已知函數f(x)=x2－ax+b (a,b∈R)的圖像經過坐標原點，且
，數列{
}的前n項和
=f(n)（n∈N*）.
(Ⅰ) 求數列{}的通項公式；(Ⅱ）若數列{
}滿足
+
= 
,求數列{}的前n項和.
一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分60分．
（1）B （2）D （3）D （4）B （5）B （6）C
（7）B （8）C （9）D （10）C （11）B （12）A
二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分16分．
（13）
（14）6，30，10 （15）120
（16）①④⑤
三、解答題：
（17）本小題主要考查三角函數的基本性質和恒等變換的基本技能，考查畫圖的技能，滿分12分．
解（I）
所以函數
的最小正周期為π，最大值為
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
1
1
1
故函數
在區間
上的圖象是
（18）本小題主要考查線面關系和直棱柱等基礎知識，同時考查空間想像能力和推理運算能力，滿分12分．
解法一：（Ⅰ）連結BG，則BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B與平面ABD所成的角．
設F為AB中點，連結EF、FC，
∵ D、E分別是CC1、A1B的中點，又DC⊥平面ABC，
∴ CDEF為矩形．
連結DF，G是△ADB的重心，
∴G∈DF．
在直角三角形EFD中，
，
∵ EF＝1，∴
……4分
于是
∵ 
∴ 
∴ 
∴ A1B與平面ABC所成的角是
（Ⅱ）連結A1D，有
∵ ED⊥AB，ED⊥EF，又EF
AB＝F，
∴ ED⊥平面A1AB．
設A1到平面AED的距離為h．
則 
又 
∴ 
即A1到平面AED的距離為
解法二： （Ⅰ）連結BG，則BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B與平面ABD所成的角．
如圖所示建立坐標系，坐標原點為O，設CA＝2a，則 A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)，
．
∴ 
，
．
∴ 
，解得 a＝1．
∴ 
，
．
∴ 
．
A1B與平面ABD所成角是
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1)．
，
，
∴ ED⊥平面AA1E，又EDÌ平面AED，
∴ 平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E＝AE，
∴ 點A1在平面AED的射影K在AE上．
設 
，
則 
．
由 
，即l+l+l－2＝0，
解得 
．
∴ 
．
∴ 
．
故A1到平面AED的距離為
．
（19）本小題主要考查導數的概念和計算，應用導數研究函數性質的方法及推理和運算能力．滿分12分．
解：
．
當a>0，x>0時
f ¢(x)>0Ûx2+(2a－4)x+a2>0，
f ¢(x)<0Ûx2+(2a－4)x+a2<0．
（?）當a > 1時，對所有x > 0，有
x2+(2a－4)x+a2>0，
即f ¢(x)>0，此時f(x)在（0，+∞）內單調遞增．
（?）當a＝1時，對x≠1，有
x2+(2a－4)x+a2>0，
即f ¢(x)>0，此時f(x)在（0，1）內單調遞增，在（1，+∞）內單調遞增．
又知函數f(x)在x＝1處連續，因此，函數f(x)在（0，+∞）內單調遞增．
（?）當0<a<1時，令f ¢(x)>0，即
x2+(2a－4)x+a2>0，
解得
，或
．
因此，函數f(x)在區間
內單調遞增，在區間
內也單調遞增．
令f ¢(x)<0，即x2+(2a－4)x+a2 < 0，
解得
．
因此，函數f(x)在區間
內單調遞減．
（20）本小題考查離散型隨機變量分布列和數學期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力，滿分12分．
解：（Ⅰ）x，h的可能取值分別為3，2，1，0．
，
，
，
；
根據題意知x+h=3，所以
，
，
，
．
（Ⅱ）
；
因為 x +h＝3，
所以 
．
（21）本小題主要考查平面向量的概念和計算，求軌跡的方法，橢圓的方程和性質，利用方程判定曲線的性質，曲線與方程的關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力，滿分12分．
解：根據題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值．
∵ i＝(1，0)，c＝(0，a)，
∴ c+li=(l，a)，i－2lc=(1，－2la)．
因此，直線OP和AP的方程為
ly=ax 和 y－a＝－2lax．
消去參數l，得點P(x，y)的坐標滿足方程y(y－a)=－2a2x2，
整理得 
．
①
因為a>0，所以得：
（?）當
時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F；
（?）當
時，方程①表示橢圓，焦點
和
為合乎題意的兩個定點：
（?）當
時，方程①也表示橢圓，焦點
和
為合乎題意的兩個定點．
（22）本小題主要考查數列、等比數列的概念，考查數學歸納法，考查靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力，滿分14分．
（Ⅰ）證法一：（?）當n＝1時，由已知a1=1－2a0，等式成立；
（?）假設當n＝k（k≥1）等式成立，即
，
那么 
，
也就是說，當n＝k+1時，等式也成立．
根據（?）和（?），可知等式對任何n∈N+成立．
證法二：如果設an－a3n=－2(an－1－a3n－1)，
用
代入，可解出
．
所以
是公比為－2，首項為
的等比數列．
∴ 
（n∈N+），
即 
．
（Ⅱ）解法一：由an通項公式
，
∴ an>an－1（n∈N+）等價于
（n∈N+）．
①
（?）當n＝2k－1，k＝1，2，…時，①式即為
，
即為 
．
②
②式對k＝1，2，…都成立，有
．
（?）當n＝2k，k＝1，2，…時，①式即為
，
即為 
．
③式對k＝1，2，…都成立，有
．
②
綜上，①式對任意n∈N+成立，有
．
故a0的取值范圍為（0，
）．
解法二：如果an>an－1（n∈N+）成立，特別取n＝1，2有
a1－a0=1－3a0>0，
a2－a1=6a0>0，
因此 ．
下面證明當時，對任意n∈N+，有an－an－1>0．
由an通項公式
．
（?）當n＝2k－1，k＝1，2，…時，
＝0．
（?）當n＝2k，k＝1，2，…時，
≥0．
故a0的取值范圍為（0，）．
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