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如圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀．
（1）若最大拱高h為6米，則隧道設計的拱寬l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，則應如何設計拱高h和拱寬l，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最最小？（半個橢圓的面積公式為S=

π

4

lh，柱體體積為：底面積乘以高．本題結果精確到0.1米）

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如圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀。

（1）若最大拱高h為6米，則隧道設計的拱寬l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，則應如何設計拱高h和拱寬l，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最小？ （半個橢圓的面積公式為，柱體體積為：底面積乘以高。本題結果精確到0.1米）。

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說明

 1．本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答中評分標準的精進行評分。

2．評閱試卷，應堅持每題評閱到底，不要因為考生的解答中出現錯誤而中斷對該題的評閱，當考生的解答在某一步出現錯誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一的內容和難度時，可視影響程度決定后面部分的給分，這時原則上不應超過后面部分應給分數之半，如果有較嚴重的概念性錯誤，就不給分。

一、（第1題到第12題）

（1）p          （2）            （3）－49              （4）

（5）arctg2       （6）[1，3]         （7）        （8）（a₁>0，0<q<1的一組數）

（9）         （10）2.6            （11）4p                （12）|PF₂|=17

二、（第13題至第16題）

（13）C     （14）D     （15）D    （16）B 

三、（第17題至第22題）

（17）[解]  |z₁?z₂| = |1+sinq cosq +（cosq－sinq ）i|

    故|z₁?z₂|的最大值為，最小值為．

（18）[解]連結BC，因為B₁B⊥平面ABCD，B₁D⊥BC，所以BC⊥BD．

在△BCD中，BC=2，CD=4，

所以

又因為直線B₁D與平面ABCD所成的角等于30°，所以∠B₁DB＝30°，于是

故平行六面體ABCD－A₁B₁C₁D₁的體積為

（19）[解]（1）

（2）歸納概括的結論為：

若數列｛a_n｝是首項為a₁，公比為q的等比數列，則

，n為整數．

證明：

（20）[解]（1）如圖建立直角坐標系，則點p（11，4.5），

橢圓方程為

將b=h＝6與點p坐標代入橢圓方程，得，此時

因此隧道的拱寬約為33.3米．

（2）由橢圓方程

     得 

     因為即ab≥99，且l＝2a，h＝b，

所以

當S取最小值時，有，得

故當拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米，土方工程量最小．

[解二]由橢圓方程得

于是

即ab≥99，當S取最小值時，有

得以下同解一．

（21）[解]（1）設，則由即得

或     因為

所以  v－3>0，得  v＝8，故 

（2）由得B（10，5），于是直線OB方程：

由條件可知圓的標準方程為：（x－3）²＋（y＋1）²＝10，

得圓心（3，－1），半徑為

設圓心（3，－1）關于直線OB的對稱點為（x，y），則

得

故所求圓的方程為（x－1）²＋（y－3）²＝10．

（3）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）為拋物線上關于直線OB對稱的兩點，則

得

即x₁、x₂為方程的兩個相異實根，

于是由得

故當時，拋物線y =ax²－1上總有關于直線OB對稱的兩點．

（22）[解]（1）對于非零常數T，f （x+T）=x+T，Tf （x）＝Tx．

        因為對任意x∈R，x+T =Tx不能恒成立，

        所以f （x）＝x  M ．

（2）因為函數f （x）=a^x （a>0且a≠1）的圖象與函數y=x的圖象有公共點，

所以方程組： 有解，消去y得a^x=x，

顯然x=0不是方程的a^x=x解，所以存在非零常數T，使a^T=T．

于是對于f （x）=a^x ，有

f （x＋T）=a^x+T = a^T?a^x=T?a^x =T f （x），

故f （x）=a^x∈M．

（3）當k=0時，f （x）=0，顯然f （x）=0∈M．

當k≠0時，因為f （x）=sinkx∈M，所以存在非零常數T，

對任意x∈R，有

f （x＋T）= T f （x）成立，即sin（kx＋kT）= T sinkx．

因為k≠0時，且x∈R，所以kx∈R，kx＋kT∈R，

于是sinkx∈[－1，1]，sin（kx＋kT） ∈[－1，1]，

故要使sin（kx＋kT） = Tsinkx成立，只有T=±1．

當T＝1時，sin（kx＋k）= sinkx成立，則k=2mp，m∈Z．

當T＝－1時，sin（kx－k）= －sinkx成立，

即sin（kx－k＋p） = sinkx成立，

則－k＋p =2mp，m∈Z，即k= －（2m－1） p，m∈Z．

綜合得，實數k的取值范圍是{k | k= mp，m∈Z }．