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已知{}（是正整數(shù)）是首項(xiàng)是，公比是的等比數(shù)列。  
（1）求和：①  ②
（2）由（1）的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)的一個(gè)結(jié)論；
(3)設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)的和，求

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說(shuō)明

 1．本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答中評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的精進(jìn)行評(píng)分。

2．評(píng)閱試卷，應(yīng)堅(jiān)持每題評(píng)閱到底，不要因?yàn)榭忌�的解答中出現(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對(duì)該題的評(píng)閱，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一的內(nèi)容和難度時(shí)，可視影響程度決定后面部分的給分，這時(shí)原則上不應(yīng)超過(guò)后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半，如果有較嚴(yán)重的概念性錯(cuò)誤，就不給分。

一、（第1題到第12題）

（1）p          （2）            （3）－49              （4）

（5）arctg2       （6）[1，3]         （7）        （8）（a₁>0，0<q<1的一組數(shù)）

（9）         （10）2.6            （11）4p                （12）|PF₂|=17

二、（第13題至第16題）

（13）C     （14）D     （15）D    （16）B 

三、（第17題至第22題）

（17）[解]  |z₁?z₂| = |1+sinq cosq +（cosq－sinq ）i|

    故|z₁?z₂|的最大值為，最小值為．

（18）[解]連結(jié)BC，因?yàn)?i>B₁B⊥平面ABCD，B₁D⊥BC，所以BC⊥BD．

在△BCD中，BC=2，CD=4，

所以

又因?yàn)橹本�B₁D與平面ABCD所成的角等于30°，所以∠B₁DB＝30°，于是

故平行六面體ABCD－A₁B₁C₁D₁的體積為

（19）[解]（1）

（2）歸納概括的結(jié)論為：

若數(shù)列｛a_n｝是首項(xiàng)為a₁，公比為q的等比數(shù)列，則

，n為整數(shù)．

證明：

（20）[解]（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)p（11，4.5），

橢圓方程為

將b=h＝6與點(diǎn)p坐標(biāo)代入橢圓方程，得，此時(shí)

因此隧道的拱寬約為33.3米．

（2）由橢圓方程

     得 

     因?yàn)?sub>即ab≥99，且l＝2a，h＝b，

所以

當(dāng)S取最小值時(shí)，有，得

故當(dāng)拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米，土方工程量最小．

[解二]由橢圓方程得

于是

即ab≥99，當(dāng)S取最小值時(shí)，有

得以下同解一．

（21）[解]（1）設(shè)，則由即得

或     因?yàn)?sub>

所以  v－3>0，得  v＝8，故 

（2）由得B（10，5），于是直線OB方程：

由條件可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x－3）²＋（y＋1）²＝10，

得圓心（3，－1），半徑為

設(shè)圓心（3，－1）關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)為（x，y），則

得

故所求圓的方程為（x－1）²＋（y－3）²＝10．

（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）為拋物線上關(guān)于直線OB對(duì)稱的兩點(diǎn)，則

得

即x₁、x₂為方程的兩個(gè)相異實(shí)根，

于是由得

故當(dāng)時(shí)，拋物線y =ax²－1上總有關(guān)于直線OB對(duì)稱的兩點(diǎn)．

（22）[解]（1）對(duì)于非零常數(shù)T，f （x+T）=x+T，Tf （x）＝Tx．

        因?yàn)閷?duì)任意x∈R，x+T =Tx不能恒成立，

        所以f （x）＝x  M ．

（2）因?yàn)楹瘮?shù)f （x）=a^x （a>0且a≠1）的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點(diǎn)，

所以方程組： 有解，消去y得a^x=x，

顯然x=0不是方程的a^x=x解，所以存在非零常數(shù)T，使a^T=T．

于是對(duì)于f （x）=a^x ，有

f （x＋T）=a^x+T = a^T?a^x=T?a^x =T f （x），

故f （x）=a^x∈M．

（3）當(dāng)k=0時(shí)，f （x）=0，顯然f （x）=0∈M．

當(dāng)k≠0時(shí)，因?yàn)?i>f （x）=sinkx∈M，所以存在非零常數(shù)T，

對(duì)任意x∈R，有

f （x＋T）= T f （x）成立，即sin（kx＋kT）= T sinkx．

因?yàn)?i>k≠0時(shí)，且x∈R，所以kx∈R，kx＋kT∈R，

于是sinkx∈[－1，1]，sin（kx＋kT） ∈[－1，1]，

故要使sin（kx＋kT） = Tsinkx成立，只有T=±1．

當(dāng)T＝1時(shí)，sin（kx＋k）= sinkx成立，則k=2mp，m∈Z．

當(dāng)T＝－1時(shí)，sin（kx－k）= －sinkx成立，

即sin（kx－k＋p） = sinkx成立，

則－k＋p =2mp，m∈Z，即k= －（2m－1） p，m∈Z．

綜合得，實(shí)數(shù)k的取值范圍是{k | k= mp，m∈Z }．