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如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀．
（1）若最大拱高h(yuǎn)為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？
（2）若最大拱高h(yuǎn)不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l，才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最最小？（半個(gè)橢圓的面積公式為S=

π

4

lh，柱體體積為：底面積乘以高．本題結(jié)果精確到0.1米）

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如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀。

（1）若最大拱高h(yuǎn)為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？
（2）若最大拱高h(yuǎn)不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l，才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最小？ （半個(gè)橢圓的面積公式為，柱體體積為：底面積乘以高。本題結(jié)果精確到0.1米）。

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說明

 1．本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答中評分標(biāo)準(zhǔn)的精進(jìn)行評分。

2．評閱試卷，應(yīng)堅(jiān)持每題評閱到底，不要因?yàn)榭忌�的解答中出現(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對該題的評閱，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一的內(nèi)容和難度時(shí)，可視影響程度決定后面部分的給分，這時(shí)原則上不應(yīng)超過后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半，如果有較嚴(yán)重的概念性錯(cuò)誤，就不給分。

一、（第1題到第12題）

（1）p             （2）            （3）－49           （4）

（5）arctg2          （6）[1，3]         （7）     （8）（a₁>0，0<q<1的一組數(shù)）

（9）            （10）2.6            （11）4p             （12）|PF₂|=17

二、（第13題至第16題）

（13）C    （14）D   （15）D   （16）B

三、（第17題至第22題）

（17）[解]  |z₁?z₂| = |1+sinq cosq +（cosq－sinq ）i|

    故|z₁?z₂|的最大值為，最小值為．

（18）[解]連結(jié)BC，因?yàn)?i>B₁B⊥平面ABCD，B₁D⊥BC，所以BC⊥BD．

在△BCD中，BC=2，CD=4，

所以

又因?yàn)橹本�B₁D與平面ABCD所成的角等于30°，所以∠B₁DB＝30°，于是

故平行六面體ABCD－A₁B₁C₁D₁的體積為

（19）[解]  x須滿足，由得－1<x<1，

所以函數(shù)f （x）的定義域?yàn)椋ǎ?，0）∪（0，1）．

因?yàn)楹瘮?shù)f （x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且對定義域內(nèi)的任意x，有

所以f （x）是奇函數(shù)．

研究f （x）在（0，1）內(nèi)的單調(diào)性，任取x₁、x₂∈（0，1），且設(shè)x₁< x₂，則

由

得f （x₁）－f （x₂）>0，即f （x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，

由于f （x）是奇函數(shù)，所以f （x）在（－1，0）內(nèi)單調(diào)遞減．

（20）[解]（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)p（11，4.5），

橢圓方程為

將b=h＝6與點(diǎn)p坐標(biāo)代入橢圓方程，得，此時(shí)

因此隧道的拱寬約為33.3米．

（2）由橢圓方程

     得 

     因?yàn)?sub>即ab≥99，且l＝2a，h＝b，

所以

當(dāng)S取最小值時(shí)，有，得

故當(dāng)拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米，土方工程量最小．

[解二]由橢圓方程得

于是

即ab≥99，當(dāng)S取最小值時(shí)，有

得以下同解一．

（21）[解]（1）設(shè)，則由即得

或     因?yàn)?sub>

所以  v－3>0，得  v＝8，故 

（2）由得B（10，5），于是直線OB方程：

由條件可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x－3）²＋（y＋1）²＝10，

得圓心（3，－1），半徑為

設(shè)圓心（3，－1）關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)為（x，y），則

得

故所求圓的方程為（x－1）²＋（y－3）²＝10．

（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）為拋物線上關(guān)于直線OB對稱的兩點(diǎn)，則

得

即x₁、x₂為方程的兩個(gè)相異實(shí)根，

于是由得

故當(dāng)時(shí)，拋物線y =ax²－1上總有關(guān)于直線OB對稱的兩點(diǎn)．

（22）[解]（1）

（2）歸納概括的結(jié)論為：

若數(shù)列｛a_n｝是首項(xiàng)為a₁，公比為q的等比數(shù)列，則

，n為整數(shù)．

證明：

（3）因?yàn)?sub>

所以