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設雙曲線的兩個焦點分別為、，離心率為2．

（1）求雙曲線的漸近線方程；

（2）過點能否作出直線，使與雙曲線交于、兩點，且，若存在，求出直線方程，若不存在，說明理由．

【解析】(1)根據離心率先求出a²的值，然后令雙曲線等于右側的1為0，解此方程可得雙曲線的漸近線方程.

（2）設直線l的方程為,然后直線方程與雙曲線方程聯立，消去y，得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理表示此條件，得到關于k的方程，解出k的值，然后驗證判別式是否大于零即可.

 

設橢圓的左、右頂點分別為，點在橢圓上且異于兩點，為坐標原點.

（Ⅰ）若直線與的斜率之積為，求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若，證明直線的斜率 滿足

【解析】(1)解：設點P的坐標為.由題意，有  ①

由，得，

由，可得，代入①并整理得

由于，故.于是，所以橢圓的離心率

（2）證明：（方法一）

依題意，直線OP的方程為，設點P的坐標為.

由條件得消去并整理得  ②

由，及，

得.

整理得.而，于是，代入②，

整理得

由，故，因此.

所以.

(方法二)

依題意，直線OP的方程為，設點P的坐標為.

由P在橢圓上，有

因為，，所以，即   ③

由，，得整理得.

于是，代入③，

整理得

解得，

所以.

 

從方程

x=2t y=t-3

中消去t，此過程如下：
由x=2t得t=

x

2

，將t=

x

2

代入y=t-3中，得到y=

1

2

x-3．
仿照上述方法，將方程

x=3cosα y=2sinα

中的α消去，并說明它表示什么圖形，求出其焦點．

過拋物線的對稱軸上的定點，作直線與拋物線相交于兩點．

（I）試證明兩點的縱坐標之積為定值；

（II）若點是定直線上的任一點，試探索三條直線的斜率之間的關系，并給出證明.

【解析】本題主要考查拋物線與直線的位置關系以及發現問題和解決問題的能力．

（1）中證明：設下證之：設直線AB的方程為: x=ty+m與y²=2px聯立得消去x得y²=2pty-2pm=0，由韋達定理得 

 (2)中：因為三條直線AN,MN,BN的斜率成等差數列，下證之

設點N（-m,n），則直線AN的斜率K_AN=，直線BN的斜率K_BN=

  

K_AN+K_BN=+

本題主要考查拋物線與直線的位置關系以及發現問題和解決問題的能力．

 

從方程中消去t，此過程如下：
由x=2t得，將代入y=t-3中，得到．
仿照上述方法，將方程中的α消去，并說明它表示什么圖形，求出其焦點．