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設橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a，b＞0)M(2.

2

)，N(

6

，1)，O為坐標原點
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒在兩個交點A，B且

OA

⊥

OE

？若存在，寫出該圓的方程，關求|AB|的取值范圍；若不存在，說明理由．

已知函數f（x）=e^x-x（e為自然對數的底數）．
（1）求函數f（x）的最小值；
（2）若n∈N^*，證明：(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n＜

e

e-1

．

函數f(x)=

x

1-x

(0＜x＜1)的反函數為f^-1（x），數列{a_n}和{b_n}滿足：a1=

1

2

，a_n+1=f^-1（a_n），函數y=f^-1（x）的圖象在點（n，f^-1（n））（n∈N^*）處的切線在y軸上的截距為b_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{

bn

a 2 n

-

λ

an

}；的項中僅

b5

a 2 5

-

λ

a5

最小，求λ的取值范圍；
（3）令函數g(x)=[f-1(x)+f(x)]- 

1-x2

1+x2

，0＜x＜1．數列{x_n}滿足：x1=

1

2

，0＜x_n＜1且x_n+1=g（x_n），（其中n∈N^*）．證明：

(x1-x2)2

x1x2

+

(x2-x3)2

x2x3

+…+

(xn+1-xn)2

xnxn+1

＜

2 +1

8

．

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃，a₄，并求出數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

a2n

a2n-1

，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求證：S_n≤n+

5

3

．