題目列表(包括答案和解析)
| 150n-L | n-1 |
| 150n-L |
| n-1 |
；首先，從這些數中選擇這樣一些數構成第一組，使得150與這組數之和的差r1與所有可能的其他選擇相比是最小的，r1稱為第一組余差；
然后，在去掉已選入第一組的數后，對余下的數按第一組的選擇方式構成第二組，這時的余差為r2;如此繼續構成第三組（余差為r3）、第四組（余差為r4）、…,直至第N組（余差為rN）把這些數全部分完為止.
（Ⅰ）判斷r1,r2,…,rN的大小關系，并指出除第N組外的每組至少含有幾個數；
（Ⅱ）當構成第n（n＜N）組后，指出余下的每個數與rn的大小關系，并證明rn－1＞
;
（Ⅲ）對任何滿足條件T的有限個正數，證明：N≤11.
一、 選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分40分.
（1）D （2）C （3）A （4）A （5）B （6）D （7）C （8）B
二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分30分.
（9）
（10）
（11）（0，1），
（12）
（13）大 -3
（14）3 52
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
（15）本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，考查運算能力.滿分14分.
解法一：
又
,
.
解法二：
（1）
,
. （2）
（1）+（2）得：
.
（1）－（2）得：
.
.
（以下同解法一）
（16）本小題主要考查直線與平面的位置關系、棱柱等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.滿分14分.
解：（I）正三棱柱
的側面展開圖是長為6，寬為2的矩形
其對角線長為
.
（II）如圖，將側面
繞棱
旋轉
使其與側面
在同一平面上，點B運動到點D的位置，連接
交于M，則就是由頂點B沿棱柱側面經過棱到頂點C1的最短路線，其長為
.
，
,
故
.
（III）連接DB，
，則DB就是平面
與平面ABC的交線
在
中,
又
,
由三垂線定理得
.
就是平面與平面ABC所成二面角的平面角（銳角）,
側面
是正方形,
.
故平面與平面ABC所成的二面角（銳角）為
.
（17）本小題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力.滿分14分.
解：（I）由已知條件，可設拋物線的方程為
.
點P（1，2）在拋物線上,
，得
.
故所求拋物線的方程是
,
準線方程是
.
（II）設直線PA的斜率為
，直線PB的斜率為
,
則
，
.
PA與PB的斜率存在且傾斜角互補,
.
由A（
），B（
）在拋物線上，得
,（1）
,
（2）
由（1）－（2）得直線AB的斜率
（18）本小題主要考查函數、數列等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力.滿分14分.
解：（I）由
，得
.
由
及
，得
.
同理，
.
歸納得
（II）當
時，
,
,
,
.
所以
是首項為
，公比為
的等比數列.
所以
.
（19）本小題主要考查解不等式等基本知識，考查應用數學知識分析問題和解決問題的能力.滿分12分.
解：（I）列車在B，C兩站的運行誤差（單位：分鐘）分別是
和
（II）由于列車在B，C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘，所以
（*）
當
時，（*）式變形為
,
解得
;
當
時，（*）式變形為
,
解得;
當
時，（*）式變形為
,
解得
綜上所述，
的取值范圍是[39，
].
（20）本小題主要考查不等式的證明等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.滿分12分.
解：（I）
.除第N組外的每組至少含有
個數.
（II）當第n組形成后，因為
，所以還有數沒分完，這時余下的每個數必大于余差
，余下數之和也大于第n組的余差，即
,
由此可得
.
因為
，所以
.
（III）用反證法證明結論，假設
，即第11組形成后，還有數沒分完，由（I）和（II）可知，余下的每個數都大于第11組的余差
，且
,
故余下的每個數
. （*）
因為第11組數中至少含有3個數，所以第11組數之和大于
,
此時第11組的余差
,
這與（*）式中
矛盾，所以
.
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