題目列表(包括答案和解析)
某段城鐵線路上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列車運行時刻表上，規定列車8時整從A站發車，8時07分到達B站并停車1分鐘，8時12分到達C站.在實際運行中，假設列車從A站正點發車，在B站停留1分鐘，并在行駛時以同一速度
勻速行駛，列車從A站到達某站的時間與時刻表上相應時間之差的絕對值稱為列車在該站的運行誤差.
（I）分別寫出列車在B、C兩站的運行誤差;
（II）若要求列車在B，C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘，求
的取值范圍.
一、 選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分40分.
（1）D （2）C （3）A （4）A （5）B （6）D （7）C （8）B
二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分30分.
（9）
（10）
（11）（0，1），
（12）
（13）大 -3
（14）3 52
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
（15）本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，考查運算能力.滿分14分.
解法一：
又
,
.
解法二：
（1）
,
. （2）
（1）+（2）得：
.
（1）－（2）得：
.
.
（以下同解法一）
（16）本小題主要考查直線與平面的位置關系、棱柱等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.滿分14分.
解：（I）正三棱柱
的側面展開圖是長為6，寬為2的矩形
其對角線長為
.
（II）如圖，將側面
繞棱
旋轉
使其與側面
在同一平面上，點B運動到點D的位置，連接
交于M，則就是由頂點B沿棱柱側面經過棱到頂點C1的最短路線，其長為
.
，
,
故
.
（III）連接DB，
，則DB就是平面
與平面ABC的交線
在
中,
又
,
由三垂線定理得
.
就是平面與平面ABC所成二面角的平面角（銳角）,
側面
是正方形,
.
故平面與平面ABC所成的二面角（銳角）為
.
（17）本小題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力.滿分14分.
解：（I）由已知條件，可設拋物線的方程為
.
點P（1，2）在拋物線上,
，得
.
故所求拋物線的方程是
,
準線方程是
.
（II）設直線PA的斜率為
，直線PB的斜率為
,
則
，
.
PA與PB的斜率存在且傾斜角互補,
.
由A（
），B（
）在拋物線上，得
,（1）
,
（2）
由（1）－（2）得直線AB的斜率
（18）本小題主要考查函數、數列等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力.滿分14分.
解：（I）由
，得
.
由
及
，得
.
同理，
.
歸納得
（II）當
時，
,
,
,
.
所以
是首項為
，公比為
的等比數列.
所以
.
（19）本小題主要考查解不等式等基本知識，考查應用數學知識分析問題和解決問題的能力.滿分12分.
解：（I）列車在B，C兩站的運行誤差（單位：分鐘）分別是
和
（II）由于列車在B，C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘，所以
（*）
當
時，（*）式變形為
,
解得
;
當
時，（*）式變形為
,
解得;
當
時，（*）式變形為
,
解得
綜上所述，
的取值范圍是[39，
].
（20）本小題主要考查不等式的證明等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.滿分12分.
解：（I）
.除第N組外的每組至少含有
個數.
（II）當第n組形成后，因為
，所以還有數沒分完，這時余下的每個數必大于余差
，余下數之和也大于第n組的余差，即
,
由此可得
.
因為
，所以
.
（III）用反證法證明結論，假設
，即第11組形成后，還有數沒分完，由（I）和（II）可知，余下的每個數都大于第11組的余差
，且
,
故余下的每個數
. （*）
因為第11組數中至少含有3個數，所以第11組數之和大于
,
此時第11組的余差
,
這與（*）式中
矛盾，所以
.
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