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如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=2，由頂點B沿棱柱側面經過棱AA₁到頂點C₁的最短路線與AA₁的交點記為M，求：
（I）三棱柱的側面展開圖的對角線長
（II）該最短路線的長及

A1M

AM

的值
（III）平面C₁MB與平面ABC所成二面角（銳角）的大小

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如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=2，由頂點B沿棱柱側面經過棱AA₁到頂點C₁的最短路線與AA₁的交點記為M，求：
（I）三棱柱的側面展開圖的對角線長
（II）該最短路線的長及的值
（III）平面C₁MB與平面ABC所成二面角（銳角）的大小

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如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=2，由頂點B沿棱柱側面經過棱AA₁到頂點C₁的最短路線與AA₁的交點記為M，求：
（I）三棱柱的側面展開圖的對角線長
（II）該最短路線的長及的值
（III）平面C₁MB與平面ABC所成二面角（銳角）的大小

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一、 選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分40分.

（1）D   （2）C    （3）A   （4）A    （5）B    （6）D   （7）C   （8）B

二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分30分.

（9）   

（10）

（11）（0，1），

（12）  

（13）大    -3

（14）3    52

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

（15）本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，考查運算能力.滿分14分.

    解法一：

    又,

    .

    解法二：

             （1）

    ,

     .   （2）

    （1）+（2）得：.

    （1）－（2）得：.

    .

    （以下同解法一）

（16）本小題主要考查直線與平面的位置關系、棱柱等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.滿分14分.

    解：（I）正三棱柱的側面展開圖是長為6，寬為2的矩形

    其對角線長為.

    （II）如圖，將側面繞棱旋轉使其與側面在同一平面上，點B運動到點D的位置，連接交于M，則就是由頂點B沿棱柱側面經過棱到頂點C₁的最短路線，其長為

    .

    ，,

    故.

    （III）連接DB，，則DB就是平面與平面ABC的交線

    在中,

    又,

    由三垂線定理得.

    就是平面與平面ABC所成二面角的平面角（銳角）,

    側面是正方形,

    .

    故平面與平面ABC所成的二面角（銳角）為.

 （17）本小題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力.滿分14分.

    解：（I）由已知條件，可設拋物線的方程為.

    點P（1，2）在拋物線上,

    ，得.

    故所求拋物線的方程是,

    準線方程是.

    （II）設直線PA的斜率為，直線PB的斜率為,

    則，.

    PA與PB的斜率存在且傾斜角互補,

    .

    由A（），B（）在拋物線上，得

        ,（1）

    ,     （2）

    由（1）－（2）得直線AB的斜率

 （18）本小題主要考查函數、數列等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力.滿分14分.

    解：（I）由，得.

    由及，得.

    同理，.

    歸納得

    （II）當時，,

    ,

    ,

    .

    所以是首項為，公比為的等比數列.

    所以.

（19）本小題主要考查解不等式等基本知識，考查應用數學知識分析問題和解決問題的能力.滿分12分.

    解：（I）列車在B，C兩站的運行誤差（單位：分鐘）分別是

    和

    （II）由于列車在B，C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘，所以

        （*）

    當時，（*）式變形為,

    解得;

    當時，（*）式變形為,

    解得;

    當時，（*）式變形為,

    解得

    綜上所述，的取值范圍是[39，].

 （20）本小題主要考查不等式的證明等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.滿分12分.

    解：（I）.除第N組外的每組至少含有個數.

    （II）當第n組形成后，因為，所以還有數沒分完，這時余下的每個數必大于余差，余下數之和也大于第n組的余差，即

    ,

    由此可得.

    因為，所以.

    （III）用反證法證明結論，假設，即第11組形成后，還有數沒分完，由（I）和（II）可知，余下的每個數都大于第11組的余差，且,

    故余下的每個數 .   （*）

    因為第11組數中至少含有3個數，所以第11組數之和大于,

    此時第11組的余差,

    這與（*）式中矛盾，所以.