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某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x、y（單位：m）的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架圍成的總面積8m²．問x、y分別為多少（精確到0.001m）時用料最��？

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一、填空題（本大題滿分48分,每小題4分）

（1）3      （2）（5,0）      （3）{1,2,5}           （4）2      （5）（－2,0）∪（2,5]   

（6）（5,4）    （7）6       （8）（x－2）²+（y+3）²=5    （9）    （10）a>0且b≤0 

（11）用代數的方法研究圖形的幾何性質              （12）①、④

二、選擇題（本大題滿分16分,每小題4分）

（13）B   （14）C   （15）A  （16）B

三、解答題（本大題滿分86分）

（17）【解】由題意得 z₁==2+3i,

  于是==,=.

  <,得a²－8a+7<0,1<a<7.

（18）【解】由題意得xy+x²=8,   ∴y==（0<x<4）.

  于定, 框架用料長度為 l=2x+2y+2（）=（+）x+≥4.

  當（+）x=,即x=8－4時等號成立.

  此時, x≈2.343,y=2≈2.828.    故當x為2.343m,y為2.828m時, 用料最省.

（19）【解】（1）2－≥0, 得≥0, x<－1或x≥1      即A=（－∞,－1）∪[1,+ ∞）

（2） 由（x－a－1）（2a－x）>0, 得（x－a－1）（x－2a）<0.

∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=（2a,a+1）.

∵BA, ∴2 a≥1或a +1≤－1, 即a≥或a≤－2, 而a <1,

∴≤a <1或a≤－2, 故當BA時, 實數a的取值范圍是 （－∞,－2）∪[,1]   

（20）【解】（1） 解方程   y=x         得    x₁=－4,    x₂=8

                                       y=x²－4           y₁=－2,    y₂=4

   即A（－4,－2）,B（8,4）, 從而AB的中點為M（2,1）.

   由k_AB==,直線AB的垂直平分線方程y－1=（x－2）.

   令y=－5, 得x=5, ∴Q（5,－5）

  （2） 直線OQ的方程為x+y=0, 設P（x, x²－4）.

   ∵點P到直線OQ的距離d==,

   ,∴S_ΔOPQ==.

  ∵P為拋物線上位于線段AB下方的點, 且P不在直線OQ上,

  ∴－4≤x<4－4或4－4<x≤8.  ∵函數y=x²+8x－32在區間[－4,8] 上單調遞增,

  ∴當x=8時, ΔOPQ的面積取到最大值30.

（21）【證明】（1） ∵棱臺DEF―ABC與棱錐P―ABC的棱長和相等,

   ∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.   又∵截面DEF∥底面ABC,

   ∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P―ABC是正四面體.

 【解】（2）取BC的中點M,連拉PM,DM.AM.

   ∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,

   則∠DMA為二面角D―BC―A的平面角.    由（1）知,P―ABC的各棱長均為1,

   ∴PM=AM=,由D是PA的中點,  得sin∠DMA=,∴∠DMA=arcsin.

（3）存在滿足條件的直平行六面體.  棱臺DEF―ABC的棱長和為定值6,體積為V.

  設直平行六面體的棱長均為,底面相鄰兩邊夾角為α,

  則該六面體棱長和為6, 體積為sinα=V.

  ∵正四面體P―ABC的體積是,∴0<V<,0<8V<1.可知α=arcsim（8V）

故構造棱長均為,底面相鄰兩邊夾角為arcsim（8V）的直平行六面體即滿足要求.

（22）【解】（1） a₁=²=9,由S₃=（a₁+a₃）=162,得a₃=³=99.

由

－y²=1

,得

x=90

x+y=99

y=9

  ∴點P₃的坐標可以為（3,3）.

（2）對每個自然數k,1≤k≤n,由題意²=（k－1）d,及

y=2px_k

,得x+2px_k=（k－1）d

x+y=（k－1）d

即（x_k+p）²=p²+（k－1）d,

   ∴（x₁+p）², （x₂+p）², …,（x_n+p）²是首項為p²,公差為d的等差數列.

   （3） 【解法一】原點O到二次曲線C:（a>b>0）上各點的最小距離為b,最大距離為a.

    ∵a₁=²=a², ∴d<0,且a_n=²=a²+（n－1）d≥b²,

    ∴≤d<0. ∵n≥3,>0

    ∴S_n=na²+d在[,0）上遞增,

  故S_n的最小值為na²+?=.

  【解法二】對每個自然數k（2≤k≤n）,

由

x+y=a²+（k－1）d

,解得y=

+=1

     ∵0< y≤b²,得≤d<0     ∴≤d<0    以下與解法一相同.