一、選擇題
(1)D (2)B (3)C (4)B (5)A (6)B
(7)C (8)C (9)B (10)A (11)D (12)B
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填在題中橫線上.
(13){x|x≥-1} (14)x2+y2=4 (15)
(16)①②④
三、解答題
(17)本小題主要考查三角函數基本公式和簡單的變形,以及三角函婁的有關性質.滿分12分.
解:.files\image087.png)
.files\image089.png)
所以函數f(x)的最小正周期是π,最大值是
,最小值是
.
(18)本小題主要考查離散型隨機變量分布列和數學期望等概念.考查運用概率知識解決實際問題的能力.滿分12分.
解:P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.
P(ξ=1)=
×0.52×0.62+
×0.52×0.4×0.6=0.3
P(ξ=2)=
×0.52×0.62+.files\image094.png)
×0.52×0.4×0.6+
×0.52×0.42=0.37.
P(ξ=3)= .files\image096.png)
×0.52×0.4×0.6+.files\image094.png)
×0.52×0.42=0.2
P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04
于是得到隨機變量ξ的概率分布列為:
ξ
0
1
2
3
4
P
0.09
0.3
0.37
0.2
0.04
所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.
(19)本小題主要考查導數的概率和計算,應用導數研究函數性質的方法,考查分類討論的數學思想.滿分12分.
解:函數f(x)的導數:
.files\image098.png)
(I)當a=0時,若x<0,則
<0,若x>0,則
>0.
所以當a=0時,函數f(x)在區間(-∞,0)內為減函數,在區間(0,+∞)內為增函數.
(II)當.files\image102.png)
由.files\image104.png)
所以,當a>0時,函數f(x)在區間(-∞,-
)內為增函數,在區間(-
,0)內為減函數,在區間(0,+∞)內為增函數;
(III)當a<0時,由2x+ax2>0,解得0<x<-
,
由2x+ax2<0,解得x<0或x>-
.
所以當a<0時,函數f(x)在區間(-∞,0)內為減函數,在區間(0,-
)內為增函數,在區間(-
,+∞)內為減函數.
(20)本小題主要考查棱錐,二面角和線面關系等基本知識,同時考查空間想象能力和推理、運算能力.滿分12分.
.files\image109.jpg)
∵AD⊥PB,∴AD⊥OB, ∵PA=PD,∴OA=OD, 于是OB平分AD,點E為AD的中點,所以PE⊥AD. 由此知∠PEB為面PAD與面ABCD所成二面角的平面角, ∴∠PEB=120°,∠PEO=60° 由已知可求得PE=.files\image034.png) ∴PO=PE?sin60°= , 即點P到平面ABCD的距離為 . (II)解法一:如圖建立直角坐標系,其中O為坐標原點,x軸平行于DA. .連結AG.
.files\image118.jpg)
.files\image122.png)
所以.files\image124.png) 等于所求二面角的平面角, 于是.files\image126.png) 所以所求二面角的大小為 . 解法二:如圖,取PB的中點G,PC的中點F,連結EG、AG、GF,則AG⊥PB,FG//BC,FG= BC.
.files\image131.jpg)
∴∠AGF是所求二面角的平面角. ∵AD⊥面POB,∴AD⊥EG. 又∵PE=BE,∴EG⊥PB,且∠PEG=60°. 在Rt△PEG中,EG=PE?cos60°= . 在Rt△PEG中,EG= AD=1. 于是tan∠GAE= = , 又∠AGF=π-∠GAE. 所以所求二面角的大小為π-arctan . (21)(本小題主要考查直線和雙曲線的概念和性質,平面向量的運算等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.滿分12分. 解:(I)由C與t相交于兩個不同的點,故知方程組 .files\image136.png)
有兩個不同的實數解.消去y并整理得 (1-a2)x2+2a2x-2a2=0. ① .files\image138.png)
雙曲線的離心率 .files\image140.png)
(II)設.files\image142.png) .files\image144.png)
由于x1+x2都是方程①的根,且1-a2≠0, .files\image146.png)
(22)本小題主要考查數列,等比數列的概念和基本知識,考查運算能力以及分析、歸納和推理能力.滿分14分. 解:(I)a2=a1+(-1)1=0,
a3=a2+31=3.
a4=a3+(-1)2=4,
a5=a4+32=13,
所以,a3=3,a5=13. (II) a2k+1=a2k+3k
= a2k-1+(-1)k+3k, 所以a2k+1-a2k-1=3k+(-1)k, 同理a2k-1-a2k-3=3k-1+(-1)k-1,
……
a3-a1=3+(-1). 所以(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+…+(a3-a1) =(3k+3k-1+…+3)+[(-1)k+(-1)k-1+…+(-1)], 由此得a2k+1-a1= (3k-1)+ [(-1)k-1], 于是a2k+1= a2k=
a2k-1+(-1)k
= (-1)k-1-1+(-1)k
= (-1)k=1. {an}的通項公式為: 當n為奇數時,an=.files\image154.png) 當n為偶數時,.files\image156.png)
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