題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）設數列
的前
項和為
已知
（I）設
，證明數列
是等比數列
（II）求數列的通項公式。
（本小題滿分13分）
對于各項均為整數的數列
，如果
(
=1，2，3，…)為完全平方數，則稱數
列具有“
性質”。
不論數列是否
具有“性質”，如果存在與不是同一數列的
，且同
時滿足下面兩個條件：①
是
的一個排列
；②數列具有“性質”，則稱數列具有“變換性質”。
（I）設數列的前
項和
，證明數列具有“性質”；
（II）試判斷數列1，2，3，4，5和數列1，2，3，…，11是否具有“變換性質”，具有此性質的數列請寫出相應的數列，不具此性質的說明理由；
（III）對于有限項數列
：1，2，3，…，，某人已經驗證當
時，
數列具有“變換性質”，試證明：當”
時，數列也具有“變換性質”。
（本題滿分18分；第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）
設數列
是等差數列，且公差為
，若數列
中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則
稱該數列是“封閉數列”.
（1）若
，判斷該數列是否為“封閉數列”，并說明理由？
（2）設
是數列的前
項和，若公差
，試問：是否存在這樣的“封閉數列”，使
；若存
在，求的通項公式，若不存在，說明理由；
（3）試問：數列為“封閉數列”的充要條件是什么？給出你的結論并加以證明.
（本小題12分）設點
，點A在y軸上移動，點B在x軸正半軸（包括原點）上移動，點M在AB連線上，且滿足
，
．
（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設軌跡C的焦點為F，準線為l，自M引的垂線，垂足為N，設點
使四邊形PFMN是菱形，試求實數a；
（Ⅲ）如果點A的坐標為
，
，其中
＞
，相應線段AM的垂直平分線交x軸于
．設數列
的前n項和為
，證明：當n≥2時，
為定值．
（本小題滿分14分）已知遞增數列
滿足：
，
，且
、
、
成等比數列。（I）求數列的通項公式
；（II）若數列
滿足：
，且
。①證明數列
是等比數列，并求數列的通項公式
；②設
，數列
前
項和為
，
，
。當
時，試比較A與B的大小。
一、選擇題
（1）B （2）C （3）A （4）D （5）D （6）B
（7）A （8）D （9）B （10）C （11）A （12） B
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.
（13）28 （14）
（15）
（16）2
三、解答題
（17）本小題主要考查同角三角函數的基本關系式，二倍角公式以及三角函數式的恒等變形等基礎知識和基本技能.滿分12分.
解：
當
為第二象限角，且
時
，
所以
=
（18）本小題主要考查等比數列的概念、前n項和公式等基礎知識，考查學生綜合運用基礎知識進行運算的能力.滿分12分.
解：（I）設等比數列{an}的公比為q，則a2=a1q, a5=a1q4.
a1q=6,
依題意，得方程組 a1q4=162.
解此方程組，得a1=2, q=3.
故數列{an}的通項公式為an=2?3n－1.
（II） 
（19）本小題主要考查導數的幾何意義，兩條直線垂直的性質以及分析問題和綜合運算能力.滿分12分.
解：y′=2x+1.
直線l1的方程為y=3x－3.
設直線l2過曲線y=x2+x－2上 的點B（b, b2+b－2）,則l2的方程為y=(2b+1)x－b2－2
因為l1⊥l2，則有2b+1=
所以直線l2的方程為
（II）解方程組
得
所以直線l1和l2的交點的坐標為
l1、l2與x軸交點的坐標分別為（1，0）、
.
所以所求三角形的面積 
（20）本小題主要考查相互獨立事件同時發生的概率和互斥事件有一個發生的概率的計算方法，應用概率知識解決實際問題的能力.滿分12分.
解：記“這名同學答對第i個問題”為事件
，則
P（A1）=0.8，P（A2）=0.7，P（A3）=0.6.
（Ⅰ）這名同學得300分的概率
P1=P（A1
A3）+P（
A2A3）
=P（A1）P（）P（A3）+P（）P（A2）P（A3）
=0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6
=0.228.
（Ⅱ）這名同學至少得300分的概率
P2=P1+P（A1A2A3）
=0.228+P（A1）P（A2）P（A3）
=0.228+0.8×0.7×0.6
=0.564.
（21）本小題主要考查棱錐的體積、二面角、異面直線所成的角等知識和空間想象能力、分析
，四棱錐P―ABCD的體積
所以PA⊥BD.
的方程為
，即 
，得到點（1，0）到直線
，
即 
由于
所以
的取值范圍是