題目列表(包括答案和解析)
(本題滿分12分)
已知函數f(x)＝x2＋ax－lnx，a∈R；
(1)若函數f(x)在[1,2]上是減函數，求實數a的取值范圍；
(2)令g(x)＝f(x)－x2，是否存在實數a，當x∈(0，e](e是自然對數的底數)時，函數g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．
(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－2k2＋4，若f(x)的單調減區間為(0,4)．
(1)求k的值；
(2)對任意的t∈[－1,1]，關于x的方程2x2＋5x＋a＝f(t)總有實根，求實數a的取值范圍．
(本小題滿分12分)
已知函數f（x）=x3－ax2，其中a為實常數.
（1）設當x∈（0，1）時，函數y = f（x）圖象上任一點P處的切線的斜線率為k，若k≥－1，求a的取值范圍
（2）當x∈［－1，1］時，求函數y=f（x）+a（x2－3x）的最大值.
(本小題滿分12分)
已知函數f（x）=x3－ax2，其中a為實常數.
（1）設當x∈（0，1）時，函數y = f（x）圖象上任一點P處的切線的斜線率為k，若k≥－1，求a的取值范圍
（2）當x∈［－1，1］時，求函數y=f（x）+a（x2－3x）的最大值.
(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－2k2＋4，若f(x)的單調減區間為(0,4
)．
(1)求k的值；
(2)對任意的t∈[－1,1]，關于x的方程2x2＋5x＋a＝f(t)總有實根，求實數a的取值范圍．
（吉林、黑龍江、廣西）
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
A
B
C
C
A
D
A
C
B
C
二、填空
13 (x-1)2+(y-2)2=4； 14、- ； 15、 384；16、①②③④
三、解答題：
17、本小題主要考查指數函數的性質、不等式性質和解法，考查分析問題的能力和運算能力
解：∵f (x)=2|x+1|-|x-1|≥2=, 即|x+1|-|x-1|≥.
當x≤ -1時，原不等式化為：-2≥(舍)；
當-1<x≤ 1時，原不等式化為：2x≥ ∴x≥.
∴此時，≤ x≤ 1；
當x>1時, 原不等式化為：2≥,
此時,x>1.
故原不等式的解集為：{x|x≥ }.
18、本小題主要考查等差數列、等比數列的基本知識以及運用這些知識的能力
⑴證明：設{an}中首項為a1，公差為d.
∵lga1,lga2,lga4成等差數列 ∴2lga2=lga1?lga4 ∴a22=a1?a4.
即(a1+d)2=a1(a1+3d) ∴d=0或d=a1.
當d=0時, an=a1, bn=, ∴，∴為等比數列；
當d=a1時, an=na1 ,bn=，∴，∴為等比數列.
綜上可知為等比數列.
⑵∵無窮等比數列{bn }各項的和
∴|q|<1, 由⑴知，q=, d=a1 . bn=
∴, ∴a1=3.
∴.
19、本小題考查離散型隨機變量分布列和數學期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力
解：ξ的所有取值為3,4,5
P(ξ=3)=；
P(ξ=4)=；
P(ξ=5)=.
ξ
3
4
5
P
0.28
0.3744
0.3466
∴ξ的分布列為：
∴Eξ=3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=0.84+1.4976+1.728=4.0656.
20、本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關知識、及思維能力和空間想象能力，考查應用向量知識解決數學問題的能力
解：方法一：
⑴取PA中點G, 連結FG, DG.
.
⑵設AC, BD交于O，連結FO.
.
設BC=a, 則AB=a, ∴PA=a, DG=a=EF, ∴PB=2a, AF=a.
設C到平面AEF的距離為h.
∵VC-AEF=VF-ACE, ∴. 即 ∴. ∴AC與平面AEF所成角的正弦值為.
即AC與平面AEF所成角為.
21、本小題主要考查橢圓和直線的方程與性質，兩條直線垂直的條件、兩點間的距離、不等式的性質等基本知識及綜合分析能力
解：∵. 即.
當MN或PQ中有一條直線垂直于x軸時，另一條直線必垂直于y軸. 不妨設MN⊥y軸，則PQ⊥x軸.
∵F(0, 1) ∴MN的方程為：y=1，PQ的方程為：x=0分別代入橢圓中得：|MN|=, |PQ|=2.
∴S四邊形PMQN=|MN|?|PQ|=××2=2.
當MN,PQ都不與坐標軸垂直時，設MN的方程為y=kx+1 (k≠0)，代入橢圓中得：(k2+2)x2+2kx-1=0, ∴x1+x2=, x1?x2=.
∴
同理可得：.
∴S四邊形PMQN=|MN|?|PQ|==
(當且僅當即時，取等號).
又S四邊形PMQN =，∴此時, S四邊形PMQN.
綜上可知：(S四邊形PMQN )max=2, (S四邊形PMQN )min=.
22、本小題主要考查導數的概念和計算，應用導數研究函數性質的方法及推理和運算能力
解：⑴令=0 即[x2-2(a-1)x-2a]ex=0 ∴x2-2(a-1)x-2a=0
∵△=[2(a-1)]2+8a=4(a2+1)>0 ∴x1=, x2=
又∵當x∈(-∞, )時，>0；
當x∈(, )時，<0；
當x∈(, +∞)時，>0.
∴x1, x2分別為f (x)的極大值與極小值點.
又∵；當時.
而f ()=<0.
∴當x=時，f (x)取得最小值.
⑵f (x)在[-1, 1]上單調，則≥ 0(或≤ 0)在[-1, 1]上恒成立.
而=[x2-2(a-1)x-2a]ex, 令g(x)= x2-2(a-1)x-2a=[x-(a-1)]2-(a2+1).
∴≥ 0(或≤ 0) 即g(x) ≥ 0(或≤ 0).
當g(x) ≥ 0在[-1, 1]上恒成立時有：
①當-1≤ a-1 ≤1即0≤ a ≤2時, g(x)min=g(a-1)= -(a2+1) ≥ 0(舍)；
②當a-1>1即a ≥ 2時, g(x)min=g(1)= 3-4a ≥ 0 ∴a≤(舍).
當g(x) ≤ 0在[-1, 1]上恒成立時，有：
①當-1≤ a-1 ≤ 0即0≤ a ≤ 1時, g(x)max=g(1)=3-4a ≤ 0, ∴≤ a ≤ 1；
②當0< a-1 ≤ 1即1< a ≤ 2時, g(x)max=g(-1)= -1 ≤ 0, ∴1< a ≤ 2；
③當1< a-1即a > 2時, g(x)max=g(-1)= -1 ≤ 0, ∴a >2.
故a∈[,+∞].
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