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如圖，已知拋物線的準線為l，在l上任取一點M，過M作拋物線的切線MA、MB，A、B為切點．

(Ⅰ)求弦長|AB|的取值范圍；

(Ⅱ)求證：直線AB恒過拋物線的焦點F；

(Ⅲ)試判斷以AB為直徑的端點的圓與原點O的位置關系，并說明理由．

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如圖，設拋物線c₁：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F₁，焦點為F₂，以F₁、F₂為焦點，離心率e=

1

2

的橢圓c₂與拋物線c₁在x軸上方的一個交點為P．
（1）當m=1時，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線l經過橢圓c₂的右焦點F₂，與拋物線c₁交于A₁、A₂，如果以線段A₁A₂為直徑作圓，試判斷點P與圓的位置關系，并說明理由；
（3）是否存在實數m，使得△PF₁F₂的邊長是連續的自然數，若存在，求出這樣的實數m；若不存在，請說明理由．

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如圖，設拋物線c₁：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F₁，焦點為F₂，以F₁、F₂為焦點，離心率e=

1

2

的橢圓c₂與拋物線c₁在x軸上方的一個交點為P．
（1）當m=1時，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線l經過橢圓c₂的右焦點F₂，與拋物線c₁交于A₁、A₂，如果以線段A₁A₂為直徑作圓，試判斷點P與圓的位置關系，并說明理由；
（3）是否存在實數m，使得△PF₁F₂的邊長是連續的自然數，若存在，求出這樣的實數m；若不存在，請說明理由．

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如圖，已知拋物線y²=2px（p＞0），焦點為F，準線為直線l，P為拋物線上的一點，過點P作l的垂線，垂足為點Q．當P的橫坐標為3時，△PQF為等邊三角形．
（1）求拋物線的方程；
（2）過點F的直線交拋物線于A，B兩點，交直線l于點M，交y軸于G．
①若

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，求證：λ₁+λ₂為常數；
②求

GA

•

GB

的取值范圍．

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一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，每題只有一個正確選項）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

B

A

D

B

D

A

C

D

二、填空題（本大題共有5小題，每小題4分，共20分）

11. (1,0)      12. 1/2      13./9      14. (-1/4,1)    15.      

三、解答題（本大題共有5小題，滿分50分，解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟）

16．(本小題滿分8分)

解：  因為，所以－2<m<2；……………………………………1分

若方程無實根，則，  ……2分

即，    所以q:1<m<3． ……………………………………3分

    因為┲p為假，則p為真，又因為p∧q為假，則q為假．   ……………………5分

所以……………………7分

    所以-2<m≤1．故實數的取值范圍為．    ………………………………8分

17．（本小題滿分10分）

解：（1）將代入，消去，

整理得．        ………………………………2分

因為直線與橢圓相交于兩個不同的點，

所以，……………………4分

 解得．所以的取值范圍為．………………………6分

(2) 解法1：設,由⑴知……7分

∵弦的中點的橫坐標是-，∴…………………8分

∴b=1∈……10分

解法2：設,    由，

作差得    (*)

因為，   …………………8分

代入(*)得  ∴中點的縱坐標是，

代入得b=1∈……10分

18．（本小題滿分10分）

解(1) ∵=-=-=(-2,-1,2),

∵∥   ∴ 設………2分

∴＝  ∴t=±1,   …………………4分

∴或………………………………5分

(2) k+＝（k-1，k，2），k-2＝（k+2，k，-4）………………………………6分

又（k+）⊥（k-2）     所以 （k+）?（k-2）＝0…………………7分

∴（k-1，k，2）?（k+2，k，-4）＝…………………………9分

∴或                          ………………………………10分

19．（本小題滿分10分）

方法一：證：（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ∴AB=2，

ABCD為正方形，因此BD⊥AC. ∵PA⊥平面ABCD，BDÌ平面ABCD，∴BD⊥PA  

又∵PA∩AC=A   ∴BD⊥平面PAC.            ………………………………3分

解：（Ⅱ）作AH⊥PB于H，連結DH，∵PA⊥AD，AB⊥AD，∴DA⊥平面PAB，∴DH⊥PB，∴∠AHD為二面角A－PB－D的平面角.    ……………………………5分

 又∵PA=AB，∴H是PB中點，∴AH＝，DH＝∴cos∠AHD=AH/DH=/ =.∴二面角A－PB－D的余弦值是 ………………………………7分

（Ⅲ）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD= ，設C到面PBD的距離為d，

由，有，                        

即，

得     ………………………………10分  

方法二：證：（Ⅰ）建立如圖所示的直角坐標系，

則A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.

在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），

∴   ……………………………1分

∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，

∴BD⊥平面PAC.                               ………………………………3分

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得.

設平面PBD的法向量為，則，

即，∴  故平面PBD的法向量可取為  ……5分

∵DA⊥平面ABCD，∴為平面PAD的法向量.       ………………6分

設二面角A－PB－D的大小為q，依題意可得，∴二面角A－PB－D的余弦值是.…………7分

（Ⅲ）∵，又由（Ⅱ）得平面PBD的法向量為.…………8分

∴C到面PBD的距離為   ………………10分

20、（本小題滿分12分）

（1）設N（x，y），由題意“過點作交軸于點，點M關于點P的對稱點是”得   ………………2分

∴＝（-x,-）, ＝（1,-）               ……………………………4分

由?=0得                           ……………………………5分

（2）設L與拋物線交于點，

則由，得，             ……………………………6分

由點A、B在拋物線上有，故………7分

當L與X軸垂直時，則由，得，

不合題意，故L與X軸不垂直。                     ………………………… ……8分

可設直線L的方程為y=kx+b(k≠0)

又由，，得

所以                           ………………………………10分

，因為

所以   96＜＜480             ………………………………11分

解得直線L的斜率取值范圍為（-1，-）∪ （，1）………………………………12分

（其他方法酌情給分）

命題學校：瑞安四中（65531798） 命題人：薛孝西（13967706784）

審核學校：洞頭一中（63476763） 審核人：陳  健（13968901086）