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已知函數f（x）=-x³+kx²+5x+1，g（x）=-lnx+kx，其中k∈R．
（Ⅰ）當k=1時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）=0在區間（1，2）上有解，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）設函數q(x)=

f(x)，x≤0 g(x)，x＞0

，是否存在正實數k，使得對于函數q（x）上任一點（橫坐標不為0），總能找到另外惟一一點使得在這兩點處切線的斜率相等？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由．

（2011•濰坊二模）設函數f（x）=lnx+

a

x

(a∈R)，g(x)=x，F(x)=f(1+ex)-g(x)(x∈R)．
（I）若函數f（x）的圖象上任意一點P（x₀，y₀）處切線的斜率k≤

1

2

，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=0時，若x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，證明：F(

x1+x2

2

)＜

F(x1)+F(x2)

2

；
（Ⅲ）當a=0時，若方程m[f（x）+g（x）]=

1

2

x2（m＞0）有唯一解，求m的值．

設函數f(x)=lnx-

1

2

ax2-6x
（Ⅰ）當a=b=

1

2

時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）令F(x)=f(x)+

1

2

ax2+bx+

a

x

(0＜x≤3），其圖象上任意一點P（x₀，y₀）處切線的斜率k≤

1

2

恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）當a=0，b=-1時，方程f（x）=mx在區間[1，e²]內有唯一實數解，求實數m的取值范圍．

設函數f(x)=lnx-

1

2

ax2-bx．
（Ⅰ）當a=b=

1

2

時，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）令F(x)=f(x)+

1

2

ax2+bx+

a

x

，（0＜x≤3），其圖象上任意一點P（x₀，y₀）處切線的斜率k≤

1

2

恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）當a=0，b=-1，方程2mf（x）=x²有唯一實數解，求正數m的值．