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拋物線C的方程為y=ax²（a＜0），過拋物線C上一點P（x₀，y₀）（x₀≠0）作斜率為k₁，k₂的兩條直線分別交拋物線C于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點（P、A、B三點互不相同）且滿足k₂+λk₁=0（λ≠0且
λ≠-1），
（Ⅰ）求拋物線C的焦點坐標和準線方程；
（Ⅱ）設直線AB上一點M，滿足，證明線段PM的中點在y軸上；
（Ⅲ）當λ=1時，若點P的坐標為（1，-1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標y₁的取值范圍。

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（12分）設銳角△ABC的三內角A、B、C的對邊分別為，向量，，且與共線。
（１）求角A的大小；
（２）若，，且△ABC的面積小于，求角B的取值范圍。

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1．1   2．    3．    4．－8    5．   6．20         7．

8．1   9．0     10．    11．   12．     13．   14．（1005，1004）

15．⑴ ∵ ，………………… 2分

又∵ ，∴ 而為斜三角形，

∵，∴.   ……………………………………………… 4分

∵，∴ .  …………………………………… 6分

⑵∵，∴ …12分

即，∵，∴.…………………………………14分

16．⑴∵平面，平面，所以，…2分

∵是菱形，∴，又，

∴平面，……………………………………………………4分

又∵平面，∴平面平面．  …………………………6分

⑵取中點，連接,則，

∵是菱形，∴，

∵為的中點，∴，………………10分

∴．

∴四邊形是平行四邊形，∴，………………12分

又∵平面，平面．

∴平面．     ……………………………………14分

17．解：（1）依題意數列的通項公式是，

故等式即為，

同時有，

兩式相減可得        …………………3分

可得數列的通項公式是，

知數列是首項為1，公比為2的等比數列。           ………6分

18．解：（Ⅰ）當9天購買一次時，該廠用于配料的保管費用

P=70+=88(元)             ……………4分 

   （Ⅱ）（1）當x≤7時

y=360x+10x+236=370x+236                        ………5分

        （2）當 x>7時

y=360x+236+70+6[()+()+……+2+1]  

              =                              ………7分

         ∴                      ………8分 

         ∴設該廠x天購買一次配料平均每天支付的費用為f(x)元

                    …………11分

當x≤7時

  當且僅當x=7時             

f(x)有最小值（元）

當x＞7時

=≥393           

    當且僅當x=12時取等號

∵393<404

∴當x=12時 f(x)有最小值393元                  ………16分

19．（1）∵直線過點，且與圓：相切，

設直線的方程為，即，　……………2分

則圓心到直線的距離為，解得，

∴直線的方程為，即．…………4分

（2）對于圓方程,令，得,即．又直線過點且與軸垂直，∴直線方程為，設，則直線方程為

解方程組,得同理可得,……… 10分

∴以為直徑的圓的方程為，

又，∴整理得，………… 12分

若圓經過定點，只需令，從而有，解得，

∴圓總經過定點坐標為． ……………………… 14分

22．解：（Ⅰ），………………1分

又，

處的切線方程為

…………3分

（Ⅱ），

…………………………………………4分

令，

則上單調遞增，

上存在唯一零點，上存在唯一的極值點………6分

取區間作為起始區間，用二分法逐次計算如下

區間中點坐標

中點對應導數值

取區間

1

0.6

0.3

由上表可知區間的長度為0.3，所以該區間的中點，到區間端點距離小于0.2，因此可作為誤差不超過0.2的一個極值點的相應x的值。

取得極值時，相應………………………9分

（Ⅲ）由，

即，

，………………………………………12分

令

令

上單調遞增，

，

因此上單調遞增，

則，

的取值范圍是………………………………………16分

數學附加題參考答案及評分標準

21A．證明：連結AC．                        

因為EA切于A， 所以∠EAB＝∠ACB．

因為，所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD．

于是∠EAB＝∠ACD． ……………………………………………4分

又四邊形ABCD內接于，所以∠ABE＝∠D．

所以∽．

于是，即．

所以．              ……………………………10分

21B．解：設為曲線上的任意一點，在矩陣A變換下得到另一點，

則有，…………………………………4分

即   所以……………………………………………………8分

又因為點P在曲線上，所以，

故有  即所得曲線方程.………………………………………………… 10分

21C．解：將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程為，

即，它表示以為圓心，2為半徑的圓，      ………………………………4分

直線方程的普通方程為，                          ………………………………6分

圓C的圓心到直線l的距離，……………………………………………………………………8分

故直線被曲線截得的線段長度為．   ……………………………………10分

21D．解：由柯西不等式，得  

．   ………………………………10分

22．以點為坐標原點, 以分別為軸,建立如圖空間直角坐標系, 不妨設 則

所以   

設平面的法向量為