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已知函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f(1)=

1

2

．
（1）若n∈N^*時，求f（n）的表達式；
（2）設bn=

nf(n+1)

f(n)

  (n∈N*)，s_n=b₁+b₂+…+b_n，求

1

s1

+

1

s2

+…+

1

sn

．

設f（x）=

x

a(x+2)

，且f（x）=x有唯一解，f（x₁）=

1

1003

，x_n+1=f（x_n）（n∈N^*）．
（1）求實數a；
（2）求數列{x_n}的通項公式；
（3）若a_n=

4

xn

-4009，b_n=

an+12+an2

2an+1an

（n∈N^*），求證：b₁+b₂+…+b_n＜n+1．

設數列{a_n}的前n項和S_n=3a_n-2（n=1，2，…）．
（Ⅰ）證明數列{a_n}是等比數列；
（Ⅱ）若b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，…），且b₁=-3，求數列{b_n}的前n項和T_n．

已知數列{a_n}，{b_n}，且滿足a_n+1-a_n=b_n（n=1，2，3，…）．
（1）若a₁=0，b_n=2n，求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n+1+b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．記c_n=a_6n-1（n≥1），求證：數列{c_n}為常數列；
（3）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．若數列{

an

n

}中必有某數重復出現無數次，求首項a₁應滿足的條件．