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已知．

（１）求的單調區間；

（２）證明：當時，恒成立；

（３）任取兩個不相等的正數，且，若存在使成立，證明：．

【解析】（1）g(x)=lnx+，=        （1’）

當k0時，>0，所以函數g(x)的增區間為（0，+），無減區間；

當k>0時，>0,得x>k；<0，得0<x<k∴增區間（k,+）減區間為（0，k）（3’）

(2)設h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x=e, 當x變化時，h(x),的變化情況如表

所以h(x)0, ∴f(x)2x-e                    （5’）

設G(x)=lnx-(x1) ==0,當且僅當x=1時,=0所以G(x) 為減函數, 所以G(x)  G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,綜上,當x1時, 2x-ef(x)恒成立.

(3) ∵=lnx+1∴lnx0+1==∴lnx0=-1      ∴lnx0 –lnx=-1–lnx===(10’)  設H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函數,并且H(t)在t=1處有意義, 所以H(t) <H(1)=0∵∴=

∴lnx0 –lnx>0, ∴x0 >x

已知函數f(x)的定義域為[－1,5]，部分對應值如下表．f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象如圖所示．

下列關于函數f(x)的命題：

①函數y＝f(x)是周期函數；

②函數f(x)在[0,2]上是減函數；

③如果當x∈[－1，t]時，f(x)的最大值是2，那么t的最大值為4；

④當1<a<2時，函數y＝f(x)－a有4個零點．

其中真命題的個數有                                                 (　　)．

A．4        B．3        C．2        D．1

以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位．已知直線的參數方程為 (t為參數，0<a<)，曲線C的極坐標方程為．

（I）求曲線C的直角坐標方程；

（II）設直線l與曲線C相交于A、B兩點，當a變化時，求|AB|的最小值．

已知數列{x_n}的各項為不等于1的正數，其前n項和為S_n，點P_n的坐標為（x_n,S_n），若所有這樣的點P_n (n=1,2，…)都在斜率為k的同一直線(常數k≠0,1)上.

   （Ⅰ）求證：數列{x_n}是等比數列；

   （Ⅱ）設滿足

y_s=,y_t=（s,t∈N，且s≠t）共中a為常數，且1<a<,試判斷，是否存在自然

數M，使當n>M時，x_n>1恒成立？若存在，求出相應的M；若不存在，請說明理由