一般地.()．【查看更多】

一般地，我們把函數(shù)h（x）=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀（n∈N）稱為多項(xiàng)式函數(shù)，其中系數(shù)a₀，a₁，…，a_n∈R．
設(shè) f（x），g（x）為兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，且對所有的實(shí)數(shù)x等式f[g（x）]=g[f（x）]恒成立．
（Ⅰ）若f（x）=x²+3，g（x）=kx+b（k≠0）．
①求g（x）的表達(dá)式；
②解不等式f（x）-g（x）＞5．
（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）無實(shí)數(shù)解，證明方程f[f（x）]=g[g（x）]也無實(shí)數(shù)解．

一般地，如果函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對稱，那么對定義域內(nèi)的任意x，則f（x）+f（2a-x）=2b恒成立．已知函數(shù)f(x)=

4x

4x+m

的定義域?yàn)镽，其圖象關(guān)于點(diǎn)M(

1

2

，

1

2

)對稱．
（1）求常數(shù)m的值；
（2）解方程：log2[1-f(x)]log2[4-xf(x)]=2；
（3）求證：f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-2

n

)+f(

n-1

n

)+f(

n

)=

3n+1

6

（n∈N⁺）．

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一般地，在數(shù)列{a_n}中，如果存在非零常數(shù)T，使得a_m+T=a_m對任意正整數(shù)m均成立，那么就稱{a_n}為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{a_n}的周期．已知數(shù)列{x_n}滿足x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N^*），如果x₁=1，x₂=a，（a≤1，a≠0），設(shè)S₂₀₀₉為其前2009項(xiàng)的和，則當(dāng)數(shù)列{x_n}的周期為3時(shí)，S₂₀₀₉=

1339+a

．

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一般地，給定平面上有n個(gè)點(diǎn)，每兩點(diǎn)之間有一個(gè)距離，最大距離與最小距離的比記為λ_n，已知λ₄的最小值是

2

，λ₅的最小值是2sin

3

10

π，λ₆的最小值是

3

．試猜想λ_n（n≥4）的最小值是

2sin

n-2

2n

π

2sin

n-2

2n

π

．（這就是著名的Heilbron猜想，已經(jīng)被我國的數(shù)學(xué)家攻克）

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一般地，如果函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對稱，那么對定義域內(nèi)的任意x，則f（x）+f（2a-x）=2b恒成立．已知函數(shù) $數(shù)學(xué)公式$ 的定義域?yàn)镽，其圖象關(guān)于點(diǎn) $數(shù)學(xué)公式$ 對稱．
（1）求常數(shù)m的值；
（2）解方程： $數(shù)學(xué)公式$ ；
（3）求證： $數(shù)學(xué)公式$ （n∈N⁺）．

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說明

1. 本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同,可參照解答中評分標(biāo)準(zhǔn)的精神進(jìn)行評分.

2. 評閱試卷，應(yīng)堅(jiān)持每題評閱到底，不要因?yàn)榭忌慕獯鹬谐霈F(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對該題的評閱. 當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時(shí)，可視影響程度決定后面部分的給分，這時(shí)原則上不應(yīng)超過后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半，如果有較嚴(yán)重的概念性錯(cuò)誤，就不給分.

3. 第17題至第21題中右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該題累加分?jǐn)?shù).

4. 給分或扣分均以1分為單位.

答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

1．； 2．； 3．； 4．； 5．（理）元；（文）0.7；

6．（理）；（文）200赫茲； 7．（理）5；（文）p=4．

8．（理）；（文）

9．； 10．（理）；（文）方程為．

11．（理）；（文）； 12．12．

13――16：A； C ； C；理B文A

17．設(shè)熊貓居室的總面積為平方米，由題意得：．… 6分

解法1：，因?yàn)?sub>，而當(dāng)時(shí)，取得最大值75． 10分

所以當(dāng)熊貓居室的寬為5米時(shí)，它的面積最大，最大值為75平方米． …… 12分

解法2：=75，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值75． …… 10分

所以當(dāng)熊貓居室的寬為5米時(shí)，它的面積最大，最大值為75平方米． …… 12分

18．理：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為、、、、、． ……2分

設(shè)平面的法向量為，則，．

因?yàn)?sub>，， ……3分

，，

所以解得，取，得平面一個(gè)法向量，且． ……5分

（1）在平面取一點(diǎn)，可得，于是頂點(diǎn)到平面的距離，所以頂點(diǎn)到平面的距離為， ……8分

（2）因?yàn)槠矫?sub>的一個(gè)法向量為，設(shè)與的夾角為a，則

， ……12分

結(jié)合圖形可判斷得二面角是一個(gè)銳角，它的大小為．……14分

文：（1）圓錐底面積為 cm²， ……1分

設(shè)圓錐高為cm，由體積， ……5分

由cm³得cm； ……8分

（2）母線長cm， ……9分

設(shè)底面周長為，則該圓錐的側(cè)面積=， ……12分

所以該圓錐的側(cè)面積=cm²． ……14分

19．（理）（1）； ……3分

（2）當(dāng)時(shí)，（）

， ……6分

所以，（）． ……8分

（3）與（2）同理可求得：， ……10分

設(shè)=，

則，（用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法），相減得

，所以

． ……14分

（文）（1）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，則． ……3分

（2）公比，所以由無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和公式得：

數(shù)列各項(xiàng)的和為=1． ……7分

（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，=

； ……11分

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，=． ……14分

即． ……15分

20．（1）即，又，2分

所以，從而的取值范圍是． ……5分

（2），令，則，因?yàn)?sub>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，8分

由解得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是； ……11分

下面求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值．

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為減函數(shù)．所以函數(shù)的最小值為．

[當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)的證明：任取，，因?yàn)?sub>，，所以，，由單調(diào)性的定義函數(shù)在上為減函數(shù)．]

于是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值． ……15分

21．（1）由解得；由解得．

由點(diǎn)斜式寫出兩條直線的方程，，

所以直線AB的斜率為． ……4分

（2）推廣的評分要求分三層

一層:點(diǎn)P到一般或斜率到一般,或拋物線到一般（3分，問題1分、解答2分）

例：1．已知是拋物線上的相異兩點(diǎn)．設(shè)過點(diǎn)且斜率為-1的直線，與過點(diǎn)且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點(diǎn)P，求直線AB的斜率；

2．已知是拋物線上的相異兩點(diǎn)．設(shè)過點(diǎn)且斜率為-k 1的直線，與過點(diǎn)且斜率為k的直線相交于拋物線上的一點(diǎn)P（4，4），求直線AB的斜率；

3．已知是拋物線上的相異兩點(diǎn)．設(shè)過點(diǎn)且斜率為-1的直線，與過點(diǎn)且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點(diǎn)P，求直線AB的斜率； AB的斜率的值．

二層:兩個(gè)一般或推廣到其它曲線（4分，問題與解答各占2分）

例：4．已知點(diǎn)R是拋物線上的定點(diǎn)．過點(diǎn)P作斜率分別為、的兩條直線，分別交拋物線于A、B兩點(diǎn)，試計(jì)算直線AB的斜率．

三層:滿分（對拋物線，橢圓，雙曲線或?qū)λ袌A錐曲線成立的想法．）（7分，問題3分、解答4分）

例如：5.已知拋物線上有一定點(diǎn)P，過點(diǎn)P作斜率分別為、的兩條直線，分別交拋物線于A、B兩點(diǎn)，試計(jì)算直線AB的斜率．

過點(diǎn)P（），斜率互為相反數(shù)的直線可設(shè)為，，其中。

由得，所以

同理，把上式中換成得，所以

當(dāng)P為原點(diǎn)時(shí)直線AB的斜率不存在，當(dāng)P不為原點(diǎn)時(shí)直線AB的斜率為。

（3）（理）點(diǎn)，設(shè)，則．

設(shè)線段的中點(diǎn)是，斜率為，則=．12分

所以線段的垂直平分線的方程為，

又點(diǎn)在直線上，所以，而，于是． ……13分

(斜率，則--------------------------------13分)

線段所在直線的方程為， ……14分

代入，整理得 ……15分

，。設(shè)線段長為，則

=

……16分

因?yàn)?sub>，所以 ……18分

即：．（）

（文）設(shè)，則． ……13分

設(shè)線段的中點(diǎn)是，斜率為，則=，……15分

線段的垂直平分線的方程為， ……17分

又點(diǎn)在直線上，所以，

而，于是．故線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為． ……18分

&n

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