題目列表(包括答案和解析)
已知過球面上三點A、B、C的截面和球心的距離等于球半徑R的一半,且AB=BC=CA=2,則球面積S等于 （ ）
A．
B．
C．4π D．
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1．D 2．Ｃ 3．B 4．Ｂ 5．Ｄ 6．Ｄ 7．Ａ 8．Ｃ
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
9．72 10．
11．1 ，
12．f(x)=
，3
13．
，
14．①②
③④ , ①③②④
注：兩個空的填空題第一個空填對得2分，第二個空填對得3分．
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
15．（本小題滿分13分）
解：設既會唱歌又會跳舞的有x人，則文娛隊中共有（7-x）人，那么只會一項的人數是
（7-2 x）人．
(I)∵
，
∴
．……………………………………3分
即
．
∴
．
∴x=2． ……………………………………5分
故文娛隊共有5人．……………………………………7分
(II) 
的概率分布列為
0
1
2
P
，……………………………………9分
，……………………………………11分
∴
=1． …………………………13分
16．（本小題滿分13分）
解：(I)由
，得
．……………………………………2分
當x=1時，切線l的斜率為3，可得
當
時，
有極值，則
，可得
由①、②解得 a=2,b=-4．……………………………………5分
設切線l的方程為 
．
由原點到切線l的距離為
，
則
．解得m=±1．
∵切線l不過第四象限，
∴m=1．……………………………………6分
由于l切點的橫坐標為x=1，∴
．
∴1+a+b+c=4．
∴c=5．…………………………………………………………………7分
(II)由(I)可得
，
∴
．……………………………………8分
令
，得x=－2, ．
x
[-3,-2)
-2
(-2, 
)
(,1]
+
0
-
0
+
f(x)
極大值
極小值
……………………………………11分
∴f(x)在x=－2處取得極大值f(-2)=13．
在處取得極小值
=
．
又f(-3)=8，f(1)=4．
∴f(x)在[-3,1]上的最大值為13，最小值為．……………………………………13分
17．（本小題滿分14分）
解法一：(I) ∵PC
平面ABC，
平面ABC，
∴PCAB．…………………………2分
∵CD平面PAB，平面PAB，
∴CDAB．…………………………4分
又
，
∴AB平面PCB． …………………………5分
(II) 過點A作AF//BC，且AF=BC，連結PF，CF．
則
為異面直線PA與BC所成的角．………6分
由（Ⅰ）可得AB⊥BC，
∴CFAF．
由三垂線定理，得PFAF．
則AF=CF=
，PF=
，
在
中， tan∠PAF=
=
，
∴異面直線PA與BC所成的角為
．…………………………………9分
（III）取AP的中點E，連結CE、DE．
∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．
∵CD平面PAB，
由三垂線定理的逆定理，得 DE PA．
∴
為二面角C-PA-B的平面角．…………………………………11分
由(I) AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．
在
中，PB=
，
．
在
中， sin∠CED=
．
∴二面角C-PA-B的大小為arcsin
．……14分
解法二：（I）同解法一．
(II) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，
又∵AB=BC，可求得BC=．
以B為原點，如圖建立坐標系．
則Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），
C（，０，0），P（，０，2）．
，
．
…………………7分
則
+0+0=2．
=
= 
．
∴異面直線AP與BC所成的角為．………………………10分
（III）設平面PAB的法向量為m= (x，y，z)．
，，
則
即
解得
令
= -1, 得 m= (，0，-1)．
設平面PAC的法向量為n=(
)．
，
，
則
即
解得
令
=1, 得 n= (1，1，0)．……………………………12分
=
．
∴二面角C-PA-B的大小為arccos
．………………………………14分
18．（本小題滿分13分）
解：（I）設P（x，y），因為A、B分別為直線
和
上的點，故可設
，
．
∵
，
∴
∴
………………………4分
又
，
∴
．……………………………………5分
∴
．
即曲線C的方程為
．………………………………………6分
（II） 設N（s，t），M（x，y），則由
，可得（x，y-16）=
(s，t-16)．
故
，
．……………………………………8分
∵M、N在曲線C上，
∴
……………………………………9分
消去s得 
．
由題意知
，且
，
解得 
．………………………………………………………11分
又 
， ∴
．
解得
（）．
故實數的取值范圍是（）．………………………………13分
19．（本小題滿分13分）
解：（I）∵
，
，
，
∴
．
即
．
又
，可知對任何
，
，
所以
．……………………………2分
∵
，
∴
是以
為首項，公比為
的等比數列．………4分
（II）由（I）可知
=
（
）．
∴
．
．……………………………5分
當n=7時，
，
；
當n<7時，
，
；
當n>7時，
，
．
∴當n=7或n=8時，
取最大值，最大值為
．……8分
（III）由
，得
（*）
依題意（*）式對任意
恒成立，
①當t=0時，（*）式顯然不成立，因此t=0不合題意．…………9分
②當t<0時，由
，可知
（）．
而當m是偶數時
，因此t<0不合題意．…………10分
③當t>0時，由（）,
∴
∴
． （）……11分
設
（）
∵
=
,
∴
．
∴
的最大值為
．
所以實數
的取值范圍是
．…………………………………13分
20．（本小題滿分14分）
解：（I） ∵x>0，∴
∴f(x)在（0，1）上為減函數，在
上是增函數．
由0<a<b，且f(a)=f(b)，
可得 0<a
1<b和
．
即
．
∴2ab=a+b>
．……………………………………3分
故
，即ab>1．……………………………………4分
（II）不存在滿足條件的實數a，b．
若存在滿足條件的實數a，b，使得函數y=
的定義域、值域都是
[a，b]，則a>0．
① 當
時，
在（0，1）上為減函數．
故
即 
解得 a=b．
故此時不存在適合條件的實數a，b．………………………………6分
② 當
時，
在上是增函數．
故
即 
此時a，b是方程
的根，此方程無實根．
故此時不存在適合條件的實數a，b．………………………………8分
③ 當
，
時，
由于
，而
，
故此時不存在適合條件的實數a，b．
綜上可知，不存在適合條件的實數a，b．………………………………10分
（III）若存在實數a，b（a<b），使得函數y=f(x)的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]．
則a>0，m>0．
① 當時，由于f(x)在（0，1）上是減函數，故
．此時刻得a,b異號，不符合題意，所以a，b不存在．
② 當或時，由（II）知0在值域內，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．
故只有．
∵在
上是增函數，
∴
即 
a， b是方程
的兩個根．
即關于x的方程有兩個大于1的實根．……………………12分
設這兩個根為
，
．
則+=
，?=．
∴
即 
解得 
．
故m的取值范圍是．…………………………………………14分
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