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若定義在區間D上的函數y=f（x）對于區間D上的任意兩個值x₁、x₂總有以下不等式≤f（）成立，則稱函數y=f（x）為區間D上的凸函數．
（1）證明：定義在R上的二次函數f（x）=ax²+bx+c（a＜0）是凸函數；
（2）設f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0），并且x∈[0，1]時，f（x）≤1恒成立，求實數a的取值范圍，并判斷函數
f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）能否成為R上的凸函數；
（3）定義在整數集Z上的函數f（x）滿足：①對任意的x，y∈Z，f（x+y）=f（x）f（y）；②f（0）≠0，f（1）=2．
試求f（x）的解析式；并判斷所求的函數f（x）是不是R上的凸函數說明理由．

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一．選擇題：

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

A

C

B

B

A

B

D

二．填空題：

9．6、30、10；                 10．?5；               11．；

12．?250；                     13．；              14．③④

三．解答題：

15．解： ；  ………5分

方程有非正實數根

綜上： ……………………12分16．解:(I)設袋中原有個白球,由題意知

可得或(舍去)

答：袋中原有3個白球. 。。。。。。。。4分

(II)由題意,的可能取值為1,2,3,4,5

所以的分布列為:

1

2

3

4

5

。。。。。。。。。9分

(III)因為甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,記”甲取到白球”為事件,則

答：甲取到白球的概率為.。。。。。。。。13分

17．解：（1）由＝.＝，∴＝1；。。。。。。。。。4分

（2）任取、∈（1，＋∞），且設＜，則：

－＝＞0，

∴＝在（1，＋∞）上是單調遞減函數；。。。。。。。。。8分

（3）當直線＝（∈R）與的圖象無公共點時，＝1，

∴＜2＋＝4＝，｜－2｜＋＞2，

得：＞或＜．。。。。。。。。13分

18．（Ⅰ）證明：∵底面，底面，　∴

　　　又∵且平面，平面，，

　　　　∴平面；３分

（Ⅱ）解：∵點分別是的中點，

∴，由（Ⅰ）知平面，

∴平面，

∴，，

∴為二面角的平面角，

∵底面，∴與底面所成的角即為，

∴＝，∵為直角三角形斜邊的中點，

∴為等腰三角形，且，∴；

（Ⅲ）過點作交于點，∵底面,

　　　∴底面,為直線在底面上的射影，

　　　要，由三垂線定理的逆定理有要 ，

　設，則由得，

　又∴在直角三角形中，，

∴，

∵　∴，，

在直角三角形中，，

　，即時，．

（Ⅲ）以點為坐標原點，建立如圖的直角坐標系，設，則，，設，則

則，，,

，時時，.

19  證明：（1）對任意x₁, x₂∈R, 當 a0,

有 =                         =……（3分）

∴當時，，即

  當時，函數f(x)是凸函數.   ……（4分）

 （2） 當x=0時, 對于a∈R，有f(x)≤1恒成立；當x∈(0, 1]時, 要f(x)≤1恒成立

即， ∴ 恒成立，∵ x∈(0, 1], ∴ ≥1, 當=1時, 取到最小值為0，∴ a≤0, 又a≠0,∴ a的取值范圍是.

由此可知，滿足條件的實數a的取值恒為負數，由（1）可知函數f(x)是凸函數………10分

（3）令則，∵，∴，……………..(11)分

令，則，故；

若，則

；，……………..(12)分

若，則 ∴；∴時，.

綜上所述，對任意的，都有；……………..(13)分

所以，不是R上的凸函數. ……………..(14)分

對任意，有，

所以，不是上的凸函數. ……………..(14)分

20. 解：（1）設數列的前項和為，則

……….4分

（2）為偶數時，

為奇數時，

………9分

（3）方法1、因為所以

當，時，，時

又由，兩式相減得

 所以若，則有………..14分

方法2、由，兩式相減得

………..11分

所以要證明，只要證明

或①由：

所以…………………14分

或②由：

…………………14分

數學歸納法：①當

當

②當

當

綜上①②知若，則有.

所以，若，則有.。。。。。。。。。14分