題目列表(包括答案和解析)
若定義在區間D上的函數
對于區間D上的任意兩個值
、
總有以下不等式
成立，則稱函數為區間D上的凸函數 .
（1）證明：定義在R上的二次函數
是凸函數；
（2）設
，并且
時，
恒成立，求實數
的取值范圍，并判斷函數能否成為
上的凸函數；
（3）定義在整數集Z上的函數
滿足：①對任意的
，
；②
，
. 試求的解析式；并判斷所求的函數是不是R上的凸函數說明理由.
若定義在區間D上的函數
對于D上任意
個值
總滿足
,則稱為D上的凸函數.現已知
在
上是凸函數，則三角形ABC中，
的最大值為
（ ）
A. 
B.
C.
D.
| f(x1)+f(x2)+…+f(xn) |
| n |
| x1+x2+x3+…+xn |
| n |
| π |
| 2 |
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
一．選擇題：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
C
B
B
A
B
D
二．填空題：
9．6、30、10；
10．?5；
11．
；
12．?250；
13．
；
14．③④
三．解答題：
15．解： 
； ………5分
方程
有非正實數根
綜上：
……………………12分16．解:(I)設袋中原有
個白球,由題意知
可得
或
(舍去)
答：袋中原有3個白球. 。。。。。。。。4分
(II)由題意,
的可能取值為1,2,3,4,5
所以的分布列為:
1
2
3
4
5
。。。。。。。。。9分
(III)因為甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,記”甲取到白球”為事件
,則
答：甲取到白球的概率為
.。。。。。。。。13分
17．解：（1）由
＝
.
＝
，∴
＝1；。。。。。。。。。4分
（2）任取
、
∈（1，＋∞），且設＜，則：
－
＝
＞0，
∴＝
在（1，＋∞）上是單調遞減函數；。。。。。。。。。8分
（3）當直線
＝
（∈R）與的圖象無公共點時，＝1，
∴
＜2＋
＝4＝
，｜
－2｜＋
＞2，
得：＞
或＜．。。。。。。。。13分
18．（Ⅰ）證明：∵
底面
，
底面， ∴
又∵
且
平面
，平面，
，
∴
平面；
３分
（Ⅱ）解：∵點
分別是
的中點，
∴
，由（Ⅰ）知平面，
∴
平面，
∴
，
，
∴
為二面角
的平面角，
∵底面，∴
與底面所成的角即為
，
∴＝
，∵
為直角三角形斜邊的中點，
∴
為等腰三角形，且
，∴
；
（Ⅲ）過點
作
交
于點
，∵底面,
∴
底面,為直線
在底面上的射影，
要
，由三垂線定理的逆定理有要 
，
設
，則由
得
，
又∴在直角三角形
中，
，
∴
，
∵ 
∴
，
，
在直角三角形
中，
，
，即
時，．
（Ⅲ）以點
為坐標原點，建立如圖的直角坐標系，設
，則
，
，設
，則
則
，
，
,
，時
時，
.
19
證明：（1）對任意x1, x2∈R, 當 a
0,
有 
=
=
……（3分）
∴當
時，
，即
當時，函數f(x)是凸函數. ……（4分）
（2） 當x=0時, 對于a∈R，有f(x)≤1恒成立；當x∈(0, 1]時, 要f(x)≤1恒成立
即
， ∴ 
恒成立，∵ x∈(0, 1], ∴ 
≥1, 當=1時, 
取到最小值為0，∴ a≤0, 又a≠0,∴ a的取值范圍是
.
由此可知，滿足條件的實數a的取值恒為負數，由（1）可知函數f(x)是凸函數………10分
（3）令
則
，∵
，∴
，……………..(11)分
令
，則
，故
；
若
，則 
；，……………..(12)分
若
，則
∴
；∴
時，
.
綜上所述，對任意的，都有；……………..(13)分
所以，不是R上的凸函數. ……………..(14)分
對任意
，有
，
所以，不是
上的凸函數. ……………..(14)分
20. 解：（1）
設數列
的前項和為
，則
……….4分
（2）為偶數時，
為奇數時，
………9分
（3）方法1、因為
所以
當
，時，
，
時
又由
，兩式相減得
所以若
，則有
………..14分
方法2、由，兩式相減得
………..11分
所以要證明，只要證明
或①由：
所以
…………………14分
或②由：
…………………14分
數學歸納法：①當
當
②當
當
綜上①②知若，則有
.
所以，若，則有.。。。。。。。。。14分
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