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已知數列{a_n}的通項公式是a_n=2^n-1，數列{b_n}是等差數列，令集合A={a₁，a₂，…，a_n，…}，B={b₁，b₂，…，b_n，…}，n∈N^*．將集合A∪B中的元素按從小到大的順序排列構成的數列記為{c_n}．
（I）若c_n=n，n∈N^*，求數列{b_n}的通項公式；
（II）若A∩B=Φ，且數列{c_n}的前5項成等比數列，c₁=1，c₉=8．
（i）求滿足的正整數n的個數；
（ii）證明：存在無窮多組正整數對（m，n）使得不等式成立．

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一、選擇題：

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

B

B

D

A

B

C

D

C

a

二 填空題：

11：f^－1(x)＝lnx－1 (x>0).      12：-30

13：                      14：1

15：①②④;

三、解答題

16．………………………………………………… 2分

⑴當時，，………………………………… 3分

則，…………………………………… 5分

      ∴＝｛x│3≤x≤5｝………………………………………… 7分

⑵∵，，

    ∴有，解得，……………………………  10分

此時，符合題意．………………………… 12分

17．解：⑴∴=(sinα,1)共線      

  ∴sinα+cosα=………………………………… 2分

故sin2α=-

從而(sinα-cosα)²=1-sin2α=……………………… 4分

∴α∈(-)∴sinα<0，cosα>0

∴sinα-cosα=-……………………………………………6分

⑵∵=2cos²α=1+cos2α…9分

又cos2α=cos²α-sin²α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=

∴原式=1+…………………………………………………… 12分

18. 解：⑴

　　　　　....................................2分

又也滿足上式，

　　　　　（）

數列是公比為2，首項為的等比數列...........4分

...........................6分

⑵

　　.................9分

于是...................12分

19．⑴設

    …………………………2分

                                     …………4分

    ⑵由⑴，得

                          …………6分

（i）當

                          …………8分

（ii）

                        …………10分

（iii）當

                            …………12分

綜上所述，   ………………………………13分

20．解：⑴令 ………………………… 1分

……………………………………… 2分

當－2＜x≤0時 g’^‘（x）≤0；當x＞0時，g^‘（x）＞0…………………… 3分

∴g（x）在（－2，0上遞減，在（0，+∞）上遞增……………………… 4分

則x=0時  g（x）_min=g（0）=0   g（x）≥g（x）_min=0   ………………… 5分

 即f_n（x）≥nx                                    ……………… 6分

⑵∵         即…………… 7分

           易得x₀＞0 …………………………… 9分   

而

由⑴知x＞0時（1+x）ⁿ＞1+nx  故2ⁿ⁺¹=（1+1）ⁿ⁺¹＞n+2    ∴x₀＜1… 12分

綜上0＜x₀＜1                       ……………………………… 13分

21．解：⑴由已知，當n=1時，a,∵a₁>0,∴a₁=1. ………… 1分

當n≥2時，…+     ①

             …+        ②

由①―②得，a……………………………………………3分

∵a_n>0, ∴a=2S_n-1+a_n，即a=2S_n-a_n，

當n=1時，∴a₁=1適合上式，

∴a………………………………………………………5分

⑵由⑴知，a,即a=2S_n-a_n(n∈)③

當n≥2時，a=2S_n-1-a_n-1             ④

由③―④得，

a=2(S_n-S_n-1)-a_n+a_n-1=2a_n-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1……………………………7分

∵a_n+a_n-1>0,∴a_n-a_n-1=1,數列{a_n}是等差數列，首項為1，公差為1，

可得a_n=n. …………………………………………………………………9分

(3)∵a_n=n,∴b_n=3ⁿ+(-1)^n-1λ?=3ⁿ+(-1)^n-1λ?2ⁿ, …………………10分

要使b_n+1> b_n恒成立，

b_n+1-b_n=3ⁿ⁺¹+(-1)ⁿλ?2ⁿ⁺¹-[3ⁿ+(-1)^n-1λ?2ⁿ]

        =2?3ⁿ-3λ(-1)^n-1?2ⁿ>0恒成立

則（-1）^n-1?λ<()^n-1恒成立…………………………………………11分

當n為奇數時，即為λ<()^n-1恒成立

又()^n-1的最小值為1，       ∴λ<1

當n為偶數時，即為λ>-()^n-1恒成立

又-()^n-1最大值為-         ∴λ>-……………………………12分

∴-<λ<1，又λ≠0，∴λ=-1    ∴λ=-1，使得對任意n∈，都有b_n+1>b_n……………13分