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如圖1，矩形紙片ABCD的邊長分別為a，b（a＜b）．將紙片任意翻折（如圖2），折痕為PQ．（P在BC上），使頂點C落在四邊形APCD內一點C′，PC′的延長線交直線AD于M，再將紙片的另一部分翻折，使A落在直線PM上一點A′，且A′M所在直線與PM所在直線重合（如圖3）折痕為MN．
（1）猜想兩折痕PQ，MN之間的位置關系，并加以證明；
（2）若∠QPC的角度在每次翻折的過程中保持不變，則每次翻折后，兩折痕PQ，MN間的距離有何變化？請說明理由；
（3）若∠QPC的角度在每次翻折的過程中都為45°（如圖4），每次翻折后，非重疊部分的四邊形MC′QD，及四邊形BPA′N的周長與a，b有何關系，為什么？

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4cm，實驗操作：把一等腰直角三角尺45°角的頂點（記為點D），放在BC邊上滑動（不與B，C重合），讓該角的一邊始終過點A，另一邊交AC于點E，選取運動過程中的兩個瞬間，用量角器分別測出∠BDA與∠CED的大小，并填入下表：

	∠BDA	∠CED
第一次測量結果
第二次測量結果

探索：（1）觀察實驗結果，猜想∠BDA與∠CED的大小有何關系？并證明你的結論；
（2）設BD=x，AE=y，試求出y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當點D在BC邊上滑動時，△ADE能否成為等腰三角形？若能，求出點D的位置；若不能，請說明理由．（圖1供實驗操作用，圖2備用）

在數學活動課上，老師要求同學們先做下面的“循環分割”操作，然后再探索規律：
如圖1，是一等腰梯形紙片，其腰長與上底長相等，且底角分別60°和120°，按要求開始操作（每次分割，紙片均不得留有剩余）；

第1次分割：將原等腰梯形紙片分割成3個等邊三角形；
第2次分割：將上次分割出的一個等邊三角形分割成3個全等的等腰梯形，然后將剛分割出的一個等腰梯形分割成3個等邊三角形；
以后按第2次分割的方法進行下去…請解答下列問題：
（1）請你在圖2中畫出前兩次分割后的圖案；
（2）若原等腰梯形的面積為a，請你通過操作、觀察，將第2次，第3次分割后所得的一個最小等邊三角形的面積分別填入下表：
 

分割次數（n）	1	2	3	…
一個最小等邊三角形的面積（S）	1 3 a			…

（3）請你猜想，分割所得的一個最小等邊三角形面積S與分割次數n有何關系？（請直接用含a的式子表示，不需寫推理過程）