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解：（1）由拋物線C₁：得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，5）………….1分

∵點(diǎn)A（－1，0）在拋物線C₁上∴.………………2分

（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G..

∵點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱,

∴PM過點(diǎn)A，且PA＝MA..

∴△PAH≌△MAG..

∴MG＝PH＝5，AG＝AH＝3.

∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，5）.………………………3分

∵拋物線C₂與C₁關(guān)于x軸對(duì)稱，拋物線C₃由C₂平移得到

∴拋物線C₃的表達(dá)式.  …………4分

（3）∵拋物線C₄由C₁繞x軸上的點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°得到

∴頂點(diǎn)N、P關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱.

 由（2）得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為5.

設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PR⊥NG于R.

∵旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上,

∴EF＝AB＝2AH＝6.

 ∴EG＝3，點(diǎn)E坐標(biāo)為（，0），H坐標(biāo)為（2，0），R坐標(biāo)為（m，－5）.

根據(jù)勾股定理，得

①當(dāng)∠PNE＝90º時(shí)，PN²+ NE²＝PE²，

解得m＝，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（，5）

②當(dāng)∠PEN＝90º時(shí)，PE²+ NE²＝PN²，

解得m＝，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（，5）.

③∵PN＞NR＝10＞NE，∴∠NPE≠90º  ………7分

綜上所得，當(dāng)N點(diǎn)坐標(biāo)為（，5）或（，5）時(shí)，以點(diǎn)P、N、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．…………………………………………………………………………………8分

解決問題：如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在AB邊或其延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G在邊AD上．連結(jié)ED，F(xiàn)G，交點(diǎn)為H．
【小題1】如圖1，若AE=BF=GD，請(qǐng)直接寫出∠EHF=    ▲   °；
【小題2】如圖2，若EF =CD，GD=AE，設(shè)∠EHF=α．請(qǐng)判斷當(dāng)點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)， ∠EHF的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出tanα．